確率密度関数の変数変換の導出?
On 2月 9, 2021 by admin本パターン認識と機械学習(式1.27)では、
$$ p_yが得られます。 (y)= p_x(x)\ left | \ frac {d x} {d y} \ right | = p_x(g(y))| g “(y)| $$ここで、$ x = g(y)$、$ p_x(x)$は、変数の変更に関して$ p_y(y)$に対応するpdfです。
本によると、$(x、x + \ delta x)$の範囲にある観測値は、$ \ delta x $の値が小さい場合、$(y、y + \の範囲に変換されるためです。 delta y)$。
これはどのように正式に導出されますか?
DilipSarwateからの更新
結果は、$ g $が厳密に単調な増加または減少関数である場合にのみ保持されます。
LVのマイナーな編集Raoの答え$$ \ begin {equation} P(Y \ le y)= P(g(X)\ le y)= \ begin {cases} P(X \ le g ^ {-1}(y)) 、& \ text {if} \ g \ text {は単調に増加しています} \\ P(X \ ge g ^ {-1}(y))、& \ text {if} \ g \ text {は単調に減少しています} \ end {cases} \ end {equation} $$したがって、$ g $が単調に増加している場合$$ F_ {Y}(y) = F_ {X}(g ^ {-1}(y))$$ $$ f_ {Y}(y)= f_ {X}(g ^ {-1}(y))\ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {-1}(y)$$単調に減少する場合$$ F_ {Y}(y)= 1-F_ {X}(g ^ {-1}(y))$$ $$ f_ { Y}(y)=-f_ {X}(g ^ {-1}(y))\ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {-1}(y)$$ $$ \したがって、f_ {Y }(y)= f_ {X}(g ^ {-1}(y))\ cdot \ left | \ frac {d} {dy} g ^ {-1}(y)\ right | $$
コメント
- 結果は、$ g $が厳密に単調な増加または減少関数である場合にのみ保持されます。$ g $のグラフを描画し、導関数の定義の背後にある基本的な考え方(イプシロンとデルタを使用した正式な定義ではありません)。また、このサイトには、詳細を詳しく説明した@whuberによる回答があります。 ;つまり、これは重複して閉じる必要があります。
- あなたの本'の説明は、私が stats.stackexchange.com/a/14490/919 。また、一般的な代数的方法を stats.stackexchange.com/a/101298/919 に投稿し、幾何学的な説明を stats.stackexchange.com/a/4223/919 。
- @DilipSarwate説明ありがとうございます。直感は理解できたと思いますが、' mは、既存のルールと定理を使用してどのように導出できるかに関心があります:)
回答
$ X $がpdf
f(x)の連続確率変数であるとします。 $ Y = g(X)$を定義すると、g()は単調関数であり、$ Y $のpdf
は次のように取得されます。\ begin {eqnarray *} P(Y \ le y)& = & P(g(X)\ le y)\\ & = & P(X \ le g ^ {-1}(y))\\または\; \; F_ {Y}(y)& = & F_ {X}(g ^ {-1}(y))、\ quad \ mbox {CDFの定義による} \\ \ end {eqnarray *}両側のCDFを区別することによってwrt $ y $、$ Y $のPDFを取得します。関数g()は、単調に増加するか、単調に減少するかのいずれかです。関数g()が単調に増加している場合、$ Y $のpdfは\ begin {equation *} f_ {Y}(y)= f_ {X}(g ^ {-1}(y))\で与えられます。 cdot \ frac {d} {dy} g ^ {-1}(y)\ end {equation *}一方、単調に減少している場合、$ Y $のpdfは\ begin {equation *}で与えられます。 f_ {Y}(y)= –f_ {X}(g ^ {-1}(y))\ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {-1}(y)\ end {equation *}上記の2つの方程式は、1つの方程式に組み合わせることができます。\ begin {equation *} \したがって、f_ {Y}(y)= f_ {X}(g ^ {-1}(y))\ cdot | \ frac {d} {dy} g ^ {-1}(y)| \ end {equation *}
コメント
- ただし、fxの積分は合計が1でなければならず、fyはfxのスケーリングされたバージョンであるため、' abs()のヤコビアンが1または-1でない限り、fyは適切なpdfではないことを意味しますか?
- @Chris $ g ^のヤコビアン{-1} $は必ずしも定数関数ではないため、> 1の場合と、< 1の場合があります。
- 上記の導出は正しくないと思います。 $ g(。)$が単調に減少している場合、$ g(X)\ le y \はX \ ge g ^ {-1}(y)$を意味します。マイナス記号は魔法のようには表示されません。
- マイナス記号は、不等式が単調に減少する変換に切り替えられるという事実に由来します
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