変換が正準変換であるかどうかを確認するにはどうすればよいですか?
On 2月 17, 2021 by admin正準変換を計算することになっている例がいくつかありました( CT)ですが、変換が正準変換であるかどうかを決定する条件について実際に話したことはありません。
例を挙げましょう:変換がありました:$$ P = q \ cdot \ cot(p)、\ qquad Q = \ ln \ left(\ frac {\ sin(p)} {q} \ right)。$$この変換が正規の変換であるかどうかを確認するにはどうすればよいですか?
完全な計算を実行する必要はありませんが、ここに表示する必要があるヒントを教えていただけますか?
コメント
- CTの詳細: physics.stackexchange.com/q/69337/2451
回答
変換が正準であるかどうかを確認するための3つの簡単なテストがあります。特定の教科書では、の正確な定義によっては、いくつかの乗法定数がポップアップする場合があることに注意してください。正準変換。
表記法
$ x =(p、q)$を$ 2n $変数とし、変換された変数を$ \ tilde {x}(x)=とします。 (\ tilde {p}(p、q)、\ tilde {q}(p、q))$。
シンプレクティックジャコビアンの方法
$ J = \ partial \ tilde {x} / \ partial x $を変換のジャコビアン行列とします。さらに、$ \ mathbb {E} $を$ 2n \ times 2n $ブロック行列$$ \ mathbb {E} = \ begin {とします。 pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \ end {pmatrix} $$
次に、変換は、
$$ J \ mathbb {E} J ^ T = \ mathbb {E} $$
ポアソン括弧の方法
<の場合にのみ正準変換されます。 p>基本的なポアソン括弧が保持されている場合にのみ、変換は正準です
$$ \ {\ tilde {p} _i、\ tilde {p} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i、\ tilde {q} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i、\ tilde {p} _j \} = \ delta_ {ij} $$
Liouville微分形式の方法
これはやや実用的ではありませんが、完全を期すために含めています。微分形式$ \ sum_i p_i \ mathrm {d} q_i- \ sum_i \ tilde {p} _i \ mathrm {d} \ tilde {q} _i $が閉じている場合に限り、変換は正準です。
コメント
- シンプレクティックヤコビアン(できれば本)の方法のリファレンスを教えてください。 🙂
回答
ヒント:ポアソンブラケットは正規の不変条件です。これは
$$ \ {F、G \} _ {q、p} = \ {F、G \} _ {Q、P} $$
コメント
- したがって、$ \ {Q、P \} _ {q、p} = 1 $であることを示すだけで十分ですか?
- はい。これは、CTのより堅牢な定義です。 PBは導関数に似ているため、つまり連鎖律に従うため、2つの項を簡単に計算するだけで、求めている関係を確認できます。
回答
別の方法(実用的なショートカット)は、母関数を見つけようとすることです。この場合、$ Q $と$ p $はより基本的な変数であるように見えるため、$ F_3(Q、p)$を使用します。元の方程式は、\ begin {align} P & = q \、\ cot p \ tag {1} \\ q & = e ^ {-Q} \、\ sinp。 \ tag {2} \ end {align} Eq。 (1)は\ begin {align} P = e ^ {-Q} \、\ cospと同等です。 \ tag {3} \ end {align}
ここで、式から(2)と(3)から、$ F_3(Q、p)= e ^ {-Q} \ cos p $が\ begin {align} P =-\ frac {\ partial F_3} {\ partialを満たすことを簡単に確認できます。 Q}、\ tag {4} \\ q =-\ frac {\ partial F_3} {\ partialp}。 \ tag {5} \ end {align}これは、指定された変換がこの$ F_3(Q、p)$によって生成されることを意味するため、正規です。
$ F_3の可能な関数形式に注意してください。 (Q、p)$は、試行錯誤のアプローチから推測できます。この場合、実際に式を統合しました。 (4)、$$ F_3 =-\ int P \、dQ =-\ int e ^ {-Q} \ cos p \、dQ = e ^ {-Q} \ cos p、$$そしてそれが式を満たしていることを確認。 (5)。
回答
Enucatlによる回答は十分満足のいくものです。ただし、例では$$ P = q \ cot(p)、$$ $$ Q = \ ln \ left(\ frac {\ sin(p)} {q} \ right)、$$は質問で与えられ、次元の不一致があるようです。
$ \ cot $内の引数は$ [p /(p_o)] $でなければなりません。ここで、$ p_o $は運動量の次元を持ち、対数の引数は$でなければなりません。 $ q_o \ frac {\ sin(p / p “_o)} {q}、$$ $ p” _o $は$ p_o $と同じである必要はありません。 PとQがそれぞれ運動量と長さの次元を持っていなくても、それは問題ではないかもしれません(正準変換の一般的なケースでよく知られています)。
次元マッチングの操作がどうか知りたいです。 $ c = 1 $を取り、自由粒子の相対論的エネルギーを呼び出す特定の本の暗黙の(ファッショナブルな(私は好きではない)方法のように)$ E =(m ^ 2 + p ^ 2)^ {1/2} $ E =(m ^ 2 c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2)^ {1/2} $などの代わりに$。
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