複素インピーダンス
On 2月 16, 2021 by admin複素インピーダンスを持つとはどういう意味ですか?
たとえば、コンデンサのインピーダンス(ラプラスドメイン) ?)は1 / sC(私は信じています)で与えられます。これは、トランジェントが無視される\ $ \ dfrac {1} {j \ cdot 2 \ pi \ cdot f \ cdot C} \ $に相当します。インピーダンスが虚数であるとはどういう意味ですか?
私は現在、大学で電気工学の2年生です。可能であれば、数学的に有効で徹底的な対応をいただければ幸いです。あまり問題はなく、教材(ウェブと紙のリソース)を参照するのが理想的です。
よろしくお願いします。
コメント
- ‘コースでこれを正確に勉強していませんか?確かに、これについて詳しく説明した教科書が1つか2つあります。これは非常に幅広いトピックであり、難しいトピックです。より具体的な質問をせずに答える。
- 追加のリソース
- 私が想定している教科書は以前のコースですでに知られています(’これを教えていませんでした)。さらに、私の講師は順番を入れ替えたので、’おそらく後で教えられるでしょうが、必要になる前ではありません。
- そうですあなたのいとこは多くのトピックを手つかずのままにしていて、’エンジニアリングコースには非常に不便です…
回答
TL; DR インピーダンスの虚数部は反応性を示しますインピーダンスの成分;これは、(とりわけ)電流と電圧の位相差と回路で使用される無効電力の原因です。
基本的な原理は、周期的な信号は(場合によっては)の合計として扱うことができるということです。等間隔の周波数を持つ、高調波と呼ばれる無限の正弦波。それぞれを個別に、独自のシグナルとして扱うことができます。
これらのシグナルには、次のような表現を使用します。$$ v(t)= V_ {0} \ cos(2 \ pi ft + \ phi)= \ Re \ {V_ {0} e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi} \} $$
そして、すでに複素数の領域にジャンプしていることがわかります複素数を使用して回転を表すことができるためです。
したがって、インピーダンスはアクティブ(抵抗)またはリアクティブ(リアクタンス)になります。最初のものは定義上、リアクタンスが信号の位相(\ $ \ phi \ $)に影響を与えないので、複素数を使用して、リアクタンスによって導入される位相の変動を評価することができます。
次のようになります。$$ V = I \ cdot Z = I \ cdot | Z | \ cdot e ^ {j \ theta} $$
ここで、| Z |はインピーダンスの大きさです、次の式で与えられます:$$ | Z | = \ sqrt {R ^ 2 + X ^ 2} $$
そしてシータはインピーダンスによって導入される位相であり、次の式で与えられます:$$ \ theta = \ arctan \ left(\ frac {X} {R} \ right)$$
前の関数に適用すると、次のようになります。$$ v(t)= \ Re \ {I_ {0} | Z | e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi + \ theta} \} = I_ {0} | Z | \ cos(2 \ pi ft + \ phi + \ theta)$$
理想的なコンデンサを考えてみましょう。インピーダンスは\ $ \ frac {1} {j \ omega C} =-\ frac {j} {\ omega C} \ $であり、これは虚数で負です。それを三角関数の円周に入れると、-90°の位相が得られます。これは、純粋に容量性の負荷では、電圧が電流より90°遅れることを意味します。
So w hy?
100オームと50+ i50オームの2つのインピーダンスを合計したいとします(または、複素数がない場合は、\ $ 70.7 \ angle 45 ^ \ circ \ $)。次に、複素数を使用して実数部と虚数部を合計し、150 + i50オームを取得します。
複素数を使用しないと、コサインとサインのいずれかを使用できるため、事態はさらに複雑になります(ただし、複素数を使用するのと同じです)または大きさと位相の混乱に入ります。それはあなた次第です:)
理論
いくつかの追加の概念、あなたに対処しようとしています質問:
- 信号の高調波表現は通常、フーリエ級数分解によって対処されます:
$$ v(t)= \ sum _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {jnt}、\ text {where} c_ {n} = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {-\ pi} ^ {\ pi} v(t)e ^ {-jnt} \、dt $$
- 複素指数は、 オイラーの式:
$$ cos(x)= \ frac {e ^ {ix} + e ^ {-ix}} {2} $$
コメント
- ご回答ありがとうございます。v(t)の式については、明確にする、つまりv(t)= v0 cos(2pi f0 t + phi)+ v1 cos(2pi f1 t + phi)+ … + vn cos(2pi fn t + phi)(信号はおそらく無限の数として表すことができるため)異なる周波数の正弦波の)?次に、cos(x)= 0.5 exp(ix)+ 0.5 exp(-ix)からR(V0 exp(j2pift + phi))項を導出しますか?この場合、0.5 exp(-2pift …)の項はどこに行きますか?また、オーム’の法則では、おそらくV(t)は実際の式に評価されますが、exp(j omega)は評価されません’ t、それでこれはどのように機能しますか?もう一度ありがとう。
- MMH多くの質問:)。最初のことについて、正確ではありません。フーリエ級数表現を確認しますが、理論的には他の分解も可能です。指数関数については、はい、それは’オイレロの同等性です。最後の質問についても同じことが言えます。複素指数は回転を与えますが、’は実数部のみを取ります。
- うわー’迅速な対応!なぜ本当の部分だけが取られるのですか? ‘数学的には有効ではないようです。もう一度ありがとう。
- これは私が’欠けているものですか? ” Aexp(i omega)…は、基になる正弦波の振幅と位相をエンコードする省略表記であると理解されています。” en.wikipedia.org/wiki/Phasor#Definition から。複素数表現は角度(位相)と大きさの表現の省略形であるという考えですか?
- @JonaGikはい、それは便利な表現です’ウィキページにもあるように、正弦波信号のすべての数学的対象は、実際の問題を表現または解決するための省略形だと思います…
回答
これであなたの質問に完全に答えることはできないと確信しています。実際、これがすでに与えられている、無視されているように見える答えを補完することを願っています。複素数の使用の背後にある概念(すでに述べたように、これは単なる空想的な名前です。数学的な「量」のタイプ。
ここで答えるべき最初の主な質問は、なぜ複素数なのかということです。そして、この質問に答えるには、自然数から実数まで、さまざまな数のセットの必要性を理解する必要があります。
幼い頃から、自然数によって人々は数えることができました。たとえば、リンゴやオレンジなどです。市場で。次に、負の数を使用して「債務」の概念に対処するために整数が導入されました(これは当時理解するのが難しい概念でした)。今、物事は有理数と分数で「量」を表す必要性でより面白くなります。この数の興味深い点は、たとえば3/8のように、1つだけではなく(自然数や整数のように)2つの整数が必要なことです。 「量」を表すこの方法は、たとえば、5つがすでに食べられたときに8つのスライスパイに残っているスライス(3)の数を表すのに非常に役立ちます:)(整数ではこれを行うことはできません!)。
では、無理数と実数をジャンプして、複素数に移動しましょう。エレクトロニクスエンジニアは、線形回路(つまり、抵抗、コンデンサ、インダクタで構成される)の正弦波電圧(および電流)という、さまざまなタイプの「量」を記述して操作するという課題に直面しました。何を推測するか、彼らは複素数が解決策であることを発見しました。
エンジニアは、正弦波が3つの成分、つまりA(振幅)、\ $ \ omega \ $(角周波数)、および位相で表されることを知っていました。 (\ $ \ phi \ $):$$ y(t)= A \ cdot sin(\ omega t + \ phi)$$
彼らはまた、線形回路では角周波数(\ $ \ omega \ $)はノードごとに変化しません。つまり、プローブしている回路のどのポイントに関係なく、周波数ではなく、振幅と位相の違いのみが表示されます。次に彼らは、正弦波電圧(または電流)の興味深い(変化する)部分はその振幅と位相であると結論付けました。したがって、有理数の場合と同じように、線形回路ノード(この場合は(A、phi))の変化する正弦波電圧を表すために2つの数が必要です。実際、彼らは、複素数代数、つまり、これらの数を操作して相互に関連付ける方法が、正弦波が線形回路によって操作される方法と手袋のように適合することに気づきました。
つまり、コンデンサのインピーダンスは\ $ \ frac {1} {j \ omega C} \ $です。つまり、上記の採用された表記では(A = 1 / C、phi =-90º)、実際には電圧が90º遅れていると言っています。現在のフェーズに関して。そして、虚数と複素数についての「超越的な」命名法を忘れてください…実際、私たちは2つの直交成分を持つ「量」について話している(つまり、カクテルカップでどれほど激しく振っても「混合されない」) “)、ベクトルと同様に、現象の2つの異なる物理的側面を表します。
UPDATE
Michael D.Alderによる「AnIntroductionto Complex Analysis for Engineers」を読むことを強くお勧めするメモもいくつかあります。これは、この主題に対する非常に友好的なアプローチです。特に、最初の章をお勧めします。 。
回答
複素数を使用することは、同相成分と逆相成分の両方を数学的に表す方法です。電圧。虚数インピーダンスは、インピーダンスが存在しないことを意味するのではなく、電流と電圧が互いに位相がずれていることを意味します。同様に、実際のインピーダンスは、日常的な意味で実際のことを意味するのではなく、電流が電圧と同相であることを意味します。
コメント
- わかりましたこれらのアイデアは概念的には、複雑なインピーダンスが実際にどのように機能するのか疑問に思っていました。複雑なインピーダンスの数学的理由とその導出方法は何ですか?
- @JonaGik私の答えはどこに欠けていましたか?この数学的理由…
- これは正しいですか?複素数表現は角度(位相)と大きさの表現の省略形であるという考えですか?したがって、複素インピーダンスを解釈するときはそれを考慮します単に位相遅延と大きさを表すのですか?
回答
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説明SEKの下で、RCLコンテキストでの「複雑な」量の意味を解き明かします。「架空の」コンポーネントの概念は、単純な根本的な領域に人々を盲目にする傾向がある有用な比喩です。リティ。以下のテキストはRC用語で説明しており、実際にはもはや神秘的ではないLCの謎には触れていません。
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他の人に説明を求める前に、教科書またはインターネット検索エンジンを使用して自分で提起したほとんどのポイントに対処するために最大限の努力をすることは、あなたにとってより大きな利益になります。この質問は、リアクティブコンポーネントを備えたAC回路の基本にとって非常に基本的なものです。難しい質問に対処することは、教育全体で同様のことをどのように扱うかという優先順位を設定し、インターネットにはおそらくこの主題を扱う何百万ものページがあります(Gargoyleは〜= 1,100万と言いますが、誰が言うことができますか?)。あなたが求める詳細と徹底性の程度は、「そこに」膨大な量の詳細を考えると、このようなサイトからは非現実的です。 (サイト所有者がウィキペディアのサブセットを複製しようとしている場合を除く)。
SO-基本を理解するのを手伝って、そこからそれを手に取って実行できるようにするのは良い考えだと思いました。したがって…
入力端子を直列抵抗のコンデンサに接続し、もう一方のコンデンサを「接地」すると、直列RC回路が得られます。
Vin-抵抗-コンデンサ-接地。
ここでステップ電圧を入力に印加すると、コンデンサの電流はそれに合わせてステップしますが、コンデンサはこの電圧を使用して充電を開始し、抵抗に電流を生成します。コンデンサに流れる電流はIcharge = V / R =(Vin-Vcap)/ Rseriesによって設定されるため、電圧の増加は指数関数的になります。つまり、Vcapが上昇すると、抵抗の両端の電位が低下するため、電流が減少します。理論的には、VcapがVinに到達するまでに無限の時間がかかりますが、実際には、約3つの時定数があります。
t = RC = Iinがその1 / eに低下するのにかかる時間初期値。参考文献を読んだ後、すでに知っている、または行う1 / e項の内容と理由。
ここで、方形波信号を適用すると、入力が正の場合、コンデンサは上記のように充電されます。入力が接地または負の場合、同様の指数関数的に放電します。コンデンサ電流はVinに従い、Vinが高/低または低高に遷移すると最大になりますが、上記の理由により、コンデンサ電圧は入力電圧。定常状態が達成されたら、VcapとI capをプロットすると、1つの入力サイクル全体が360度である場合に、最大でほぼ90度、またはほぼ度でオフセットされた2つの波形が見つかります。コンデンサ電圧の距離電流より遅れているのは入力周波数とRCtiに依存します私は一定です。
初心者には、これは魔法(またはチオチモリン*の使用)のように見えるかもしれません。電流波形は電圧の1/4サイクル前に発生しますが、これは論理的な理由によるものです。この理由は、上で説明したように、検査時に必ずしも直感的に明らかであるとは限りません。
コンデンサ、抵抗、インダクタをさまざまな方法で組み合わせ始める場合は、さまざまな波形の相対位相を数学的に処理できる必要があります。 [最初の紹介では、フェーザが気絶するように設定されているように見えるかもしれません]。
いくつかの有能な図解、または主題に関する1,000万ほどのWebページのいくつかを覗き見すると、位相関係が互いに変化し、相互の指数関係に基づく2つの波形がある場合、各波形は[R、Theta]の形式の極座標表現で表すことができ、これは複素数として表すことができます。極形を反映するX成分とY成分があります。
特定の状況での電圧と電流の関係を表す極の「ベクトル」は、基準に対するアームの長さと位相角を与える回転ベクトルアームの「メタファー」を使用します。この「メタファー」は、極形式の大きさがR = sqrt(x ^ 2 + y ^ 2)で与えられ、角度シータがtan ^ -1(X / Y)で与えられるXおよびY成分で置き換えることができます。 )。これは、以下の図形式で確認できます。
警告-用語に騙されないでください。
「複素数」という用語は単に専門用語であることに注意してください。sqrt(-1)の使用は、算術演算を機能させるメタファーの便利な部分ですしかし関係する実際の量は完全に実数であり、「通常」です。インダクタやコンデンサなどの無効要素が使用される場合、電力はもはや単にの大きさの項の積ではなくなります。電圧と電流のベクトル。つまり、V.sin(fred)x I.sin(Josepine)からの電力は(通常)= VIではありません。これは、関係する変数について特別な、魔法の、複雑な、または想像上のことを意味するものではありません。それらが時変であり、それらのピークの大きさが通常一致しないということだけです。
追加の読み取り-強くお勧めします:
- IAsimov。
コメント
- @ Kortuk-上記の大部分は私の最初の前に書かれていました回答を書いてありましたが、その段階では投稿していませんでしたが、よく確認すれば、やがて追加された可能性があります。ご存知のように、私は多くの場合、最初の投稿に大量の資料を追加します。彼の場合、あなたの飴と鞭のアプローチ(ニンジンなし)はかなり意欲をそそるものでしたが、誤った方向に向けられた動機付けのスタイルが最も正常な効果を達成するのは残念なことのようです。耳の周りの穏やかなカフに十分に反応するものもありますが、ほとんどではないことがわかりました。ここで同意しない人もいます:-)。
回答
容量とインダクタンスを仮想抵抗として表すと、次のような利点があります。抵抗器の線形問題を解決するよく知られた方法を使用して、抵抗器、コンデンサ、インダクタの線形問題を解決できます。
このような線形問題とそのよく知られた方法は、たとえば
- 問題:直列の2つの抵抗器の抵抗を計算する
方法:R = R1 + R2
は、別の抵抗器/コンデンサ/インダクタと直列の抵抗/コンデンサ/インダクタのインピーダンスを計算するためにも使用できます -
問題:2つの抵抗器の抵抗を並列に計算する
方法:R = R1 * R1 /(R1 + R2)
は、抵抗器/コンデンサ/インダクタのインピーダンスを計算するためにも使用できます。別の抵抗/コンデンサ/インダクタと並列 -
問題:抵抗、DC電圧、DC電流源を含むネットワークを解決する
方法:次の同時システムを解決する線形方程式
は、抵抗、コンデンサ、インダクタ、ACまたはDC電圧、ACまたはDC電流源を含むネットワークを解くためにも使用できます - など
実際の抵抗値(抵抗のみ)とDCソースで機能するすべての式/方法は、複素数値(抵抗、インダクタ、コンデンサ)とACソースでも同様に機能します。
回答
同相信号と逆相信号の組み合わせを表すために複素数を使用することが役立つはずであるという直感的な理由は必ずしもありませんが、複素数の算術規則は、抵抗、コンデンサ、およびインダクタの実際の動作と相互作用に非常によく適合していることがわかります。
複素数は、実数部と「虚数部」の2つの部分の合計です。 “部分。実数に i を掛けたもので表すことができます。これは、-1の平方根として定義されます。複素数は A + Bi の形式で記述でき、 A と B は両方とも実数です。次に、多項式演算の規則を使用して、 i を変数として扱うことにより複素数に作用することができますが、 i ² x -1(たとえば、 Pi × Qi の積は-P × Q)。
特定の周波数で、各アイテムの実効インピーダンスを計算し、オームの法則を使用することで、抵抗、インダクタ、コンデンサのネットワークがどのように動作するかを判断できます。直列と並列の組み合わせの実効抵抗、およびそれらを流れる電圧と電流を計算します。さらに、抵抗、コンデンサ、インダクタはすべて線形デバイスであるため、特定の周波数ごとに何をするかを計算し、その結果を合計することで、周波数の組み合わせが注入されたときのネットワークの動作を計算できます。複雑な演算は、入力の関数としてフィルターの出力を計算できるため、フィルターなどの動作を分析するときに非常に役立ちます。ある周波数 f である実数 v ボルトの入力信号を供給すると、特定のノードの電圧または電流を計算できます。実数部は注入された波形と同相になり、虚数部は90度位相がずれます。回路の動作を解くために派手な微分方程式を使用する代わりに、複素数を使用した比較的基本的な算術演算を行うことができます。
回答
複素数は、電気工学で大きさと位相を持つ量に使用されます。電気インピーダンスは、電圧に対する電流の比率です。 AC電流と電圧の場合、電流と電圧の波形は同相ではない可能性があります。インピーダンスの位相は、この位相差を示します。
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