最大化問題のコーナーソリューション

問題の定式化は次のとおりです： \ begin {eqnarray *} \ max_ {c、h、l} \ & \ ln（c- \ gamma）+ \ beta l + \ theta h \\ \ text {st} & l + h = 1、\\ & c \ leq \ omega h + \ rho、\\ \ text {and} & l、h \ geq 0、c \ geq \ gamma \ end {eqnarray *}

$ l = 1-hに置き換えます$ 、上記の問題を次のように書き直すことができます： \ begin {eqnarray *} \ max_ {c、h} \ & \ ln（c- \ gamma）+ \ beta +（\ theta- \ beta）h \\ \ text {st} & 0 \ leq h \ leq 1 \\ \ text {および} & \ gamma \ leq c \ leq \ omega h + \ rho \ end {eqnarray *}

ユーティリティが増加しているため<スパンclass = "math-container"> $ c $ 、 $ c = \ omega h + \ rho $ が最適に保持されます。したがって、問題をさらに減らすことができます：

\ begin {eqnarray *} \ max_ {h} \ & \ ln（\ omega h + \ rho- \ gamma）+ \ beta +（\ theta- \ beta）h \\ \ text {st} & 0 \ leq h \ leq 1 \\ \ text {and} & \ gamma \ leq \ omega h + \ rho \ end {eqnarray *}

注意してください $ \ omega + \ rho \ geq \ gamma $ と仮定します。これは、 $ \ omega + \ rho < \ gamma $ 、実行可能な解決策はありません。つまり、 $ h $ 制約を満たします。

この問題を解決するために、次の2つのケースを検討します。

• ケース1 ： $ \ rho \ geq \ gamma $

この場合、問題は次のように記述します：

\ begin {eqnarray *} \ max_ {h} \ & \ ln（\ omega h + \ rho- \ gamma）+ \ beta +（\ theta- \ beta）h \\ \ text {s.t。} & 0 \ leq h \ leq 1 \ end {eqnarray *}

$ h $ は $ \ frac {\ omega} {\ omega h + \ rho- \ gamma} +（\ theta- \ beta）$ これにより、次の解が得られます：

\ begin {eqnarray *} h = \ begin {cases} 1 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ omega + \ rho- \ gamma} +（\ theta- \ beta）\ geq 0 \\ 0 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ rho- \ gamma} +（\ theta- \ beta）\ leq 0 \\ \ frac {1} {\ beta- \ theta}-\ frac {\ rho- \ gamma} {\ omega} & \ text {otherwise} \ end {cases} \ end {eqnarray *}

• ケース2 ： $ \ rho < \ gamma $

この場合、問題は次のように記述できます：

\ begin {eqnarray *} \ max_ {h} \ \ ln（\ omega h + \ rho- \ gamma）+ \ beta +（\ theta- \ beta）h \\ \ text {st} & \ frac {\ gamma- \ rho} {\ omega} \ leq h \ leq 1 \ end {eqnarray *}

$ h $ は $ \ frac {\ omega} {\ omega h + \ rho- \ gamma} +（\ theta- \ beta）$ <です。 / span>これにより、次の解が得られます：

\ begin {eqnarray *} h = \ begin {cases} 1 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ omega + \ rho- \ gamma} +（\ theta- \ beta）\ geq 0 \\ \ frac {1} {\ beta- \ theta}-\ frac {\ rho- \ gamma} {\ omega} & \ text {otherwise} \ end {cases} \ end {eqnarray *}

2つのケースを組み合わせると、次のようにソリューションを記述できます。

\ begin {eqnarray *} h = \ begin {cases} 1 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ omega + \ rho- \ gamma} +（\ theta- \ beta）\ geq 0 \\ 0 & \ text {if } \ frac {\ omega} {\ rho- \ gamma} +（\ theta- \ beta）\ leq 0 \ text {および} \ rho \ geq \ gamma \\ \ frac {1} {\ beta- \ theta} -\ frac {\ rho- \ gamma} {\ omega} & \ text {otherwise} \ end {cases} \ end {eqnarray *}

$ c = \ omega h + \ rho $ と $ l = 1 -h $ を使用するそれぞれの場合で、 $ c $ と $ l $ の最適値を取得できます。

コメント

• ありがとうございます!!あなたは最高であり、あなたの解決策はとても賢くて完璧です！もう一度ありがとうAmit

コーナーソリューションは $ではありませんc = a $ ほんの少しの消費でも限界効用がそこにあるので、それはあり得ません。ただし、 $ h = 0 $ のコーナーソリューションを使用できます。エージェントの非労働所得は $ p $ であるため、予算ラインにはねじれがあります。つまり、エージェントが仕事をしなくても多くの収入を得る場合、彼らは仕事をしないことを選択し、十分に余暇を楽しむことができます。

最適な $ l $ 、 $ c $ および $ h $ 最適な $ h $ は、2つの用語の違いによって定義されると確信しています。負の時間は働けないため、 $ h $ の方程式が負になるたびにコーナーソリューションが発生します。

意味がわからない場合は、取得した実際の数式で質問を更新してください。さらにコメントを提供し、解決策を見つけるためのガイドを提供します。

コメント

• はい、$ c = a $で見つかりませんでした。しかし、誰かが存在すると言います。手書きでソリューションをアップロードできますか？解決策が長すぎて、私の文章はとても読みやすくて良いからです。親愛なるレジオを受け入れますか？
• @ user315 " 手書きでソリューションをアップロードできますか？ "はい、質問を編集することでそれを行うことができます。
• どうもありがとう…
• @callculusアップロードしました。これをチェックしてください。そして、それが正しいかどうか教えてください。どうもありがとうございました。
• @Regioソリューションを追加しました。