パラメータを使用して正規分布の導関数を取得するにはどうすればよいですか?
On 2月 13, 2021 by admin通常、パラメーター、平均、分散を使用して正規密度の導関数を計算します。しかし、パラメーターを使用して正規分布の導関数を計算できますか(変数ではなく、変数の導関数が密度を与えることを知っています)?はいの場合、それをどのように計算しますか?
回答
区別のために連鎖律を適用するだけです。 $ N(\ mu、\ sigma ^ 2)$確率変数$ X $のCDF $ F_X(x; \ mu、\ sigma ^ 2)$は$ \ Phi \ left(\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right)$など$$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F_X(x; \ mu、\ sigma ^ 2)= \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} \ Phi \ left(\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right)= \ phi \ left(\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right)\ frac {-1} {\ sigma} =-\ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left(\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right)\ right] $$ここで、$ \ phi(x)$が標準です。上記の右端の式の正規密度と角括弧内の量は、$ X \ sim N(\ mu、\ sigma ^ 2)$の密度として認識できます。
計算はそのままにしておきます。 $ \ sigma $または$ \ sigma ^ 2 $に関する派生物で、自分で解決できます。
コメント
- @indumann いいえ "通常のテーブル"を使用して導関数$の数値を検索する理由がわかりません\ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F_X(x; \ mu、\ sigma ^ 2)=-\ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left(\ frac {x- \ mu } {} \ sigma} \ right)\ right] $導関数には、既知の単純な式があるためです。はい、 AbramowitzやStegun などの古い表には、正規密度関数の値の表がありますが、最近では" Scientific " RとMATLAB、PythonとExcelなどは言うまでもなく、計算機はすぐに利用でき、導関数の評価は簡単です。
- 反対票が何を見つけたのだろうか。私の答えについては好ましくありません。
答え
これは単純な計算です。積分(これは累積確率関数)は基本的に合計です。したがって、合計の導関数は導関数の合計と同じです。したがって、積分の下で関数(つまり密度)を単純に微分して積分します。これは私のろくでなしバージョンの微積分の基本的な定理。一部の人はここが気に入らなかった。
これが、通常の確率でそれを行う方法です。まず、確率関数$ F(x; \ mu、\ sigma)$と密度$ f(x; \ mu、\ sigma)$の一般的な関係。ここで、平均と標準偏差はパラメーターです。$$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F(x; \ mu、\ sigma)= \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} \ int _ {-\ infty} ^ xf(x; \ mu、\ sigma )dx = \ int _ {-\ infty} ^ x \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} f(x; \ mu、\ sigma)dx $$
実際には、 ライプニッツルールと呼ばれるこの操作のより一般的な形式は、変数自体による確率関数の微分(つまり、$ \ frac {\ partial} {\部分x} $)は密度(PDF)を提供します。
次に、密度をプラグインします:$$ = \ int _ {-\ infty} ^ x \ frac {\ partial} {\ partial \ mu } \ frac {e ^ {-(x- \ mu)^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx = \ int _ {-\ infty} ^ x \ frac {2( x- \ mu)} {\ sigma ^ 2} \ frac {e ^ {-(x- \ mu)^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx $$
変数変換$ \ xi = \ frac {(x- \ mu)^ 2} {\ sigma ^ 2} $:$$ = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma } \ left(-\ int_0 ^ \ infty e ^ {-\ xi} d \ xi + \ int_ {0} ^ {\ xi(x)} e ^ {-\ xi} d \ xi \ right)= \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} \ left(-1-(e ^ {-\ xi(x)}-1)\ right)$$ $$ =-\ frac {e ^ {-\ frac {(x- \ mu)^ 2} {\ sigma ^ 2}}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} $$
したがって、次のようになります。$$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F(x; \ mu、\ sigma)=-f(x ; \ mu、\ sigma)$$
分散を使用して同様のトリックを実行できます。
コメント
- @dilipsarwateありがとう。つまり、値を取得するには正規分布表を検索する必要があります。right?
- 残念ながら、合計の導関数が"であるというのは一般的に真実ではありません。 [the]導関数の合計と同じです。"
- 残念ながら、最終結果には負の符号がありません(上記の式では正しく表示されます)。しかし、結果は別の点でも間違っています。現時点では、エラーが修正され、おそらく最初の段落が書き直されるまで、この回答に反対票を投じます。
- いいえ、まだ正しくありません。間違いは、"と言った直後に始まります。次に、密度"を接続し、そこから伝播します。
コメントを残す