分散関係を理解する
On 2月 14, 2021 by admin分散関係の物理的な意味を理解しようとしています。メディアはどれほど不均一ですか?または、電磁界はメディアにどのくらい広がりますか?または?
回答
分散関係は波数ベクトル$ k $と周波数$ \ omega $の関係。分散関係は、$ \ omega(k)$の関数関係の形式を取りますが、これは一般に線形ではありません。 $ \ omega / k $は基本的に波の(位相)速度に対するものであるため、分散関係は位相速度の波長依存性を表します。
最もよく知られている例は、次のような光の分散です。プリズム:
プリズムが均質なガラスでできている場合、ガラスの屈折率は$ k $で変化し、分散につながります。
力学的波動方程式(弦や空気中など)では、$ \ omega / k = $定数の関係は、一次近似にすぎません(実際、ある意味で線形近似です)。関連する波動方程式は線形偏微分方程式であり、真の分散関係はより複雑です。たとえば、文字列上の波の周波数は、$$ \ omega ^ 2 = \ frac {T_0} {\ rho_0} k ^ 2 + \ alpha k ^ 4 + \ ldots \ tag {によって波数ベクトルに現実的に関連しています。 1} $$ここで、$ T_0 $は弦の張力、$ \ rho_0 $は弦の線密度です。係数$ \ alpha $は$ 0 $になり、文字列は完全に弾力性があります。式(1)は、それが$ k ^ 2 $でのテイラー展開の始まりであることを示唆するように書かれています。
したがって、OPの質問に具体的に答えると、分散は媒体の均一性の欠如を測定するのではなく、$ \ omega $と$ k $の間の単純な線形性の欠如を測定します。波が単色でない場合は特に重要です。これは、媒体が物理的に均一であっても、すべての波長がわずかに異なる周波数で伝搬するためです。
量子物理学では、エネルギーは$ \ hbar \ omega $に関連しているため、分散関係は問題のいくつかの重要な物理的特徴を捉えます。たとえば、クライン-ゴルドン方程式の分散関係は($ \ hbar $および$ c = 1 $の単位で)$$ \ omega ^ 2 = k ^ 2 + m ^ 2 $$であり、これは次のように変換されます。よく知られている相対論的方程式$ E ^ 2 = p ^ 2 + m ^ 2 $。
コメント
- KdV方程式の分散関係には次のものが含まれます。波の振幅(実際には水深に対する波の比率)。これは'であり、$ k ^ 3 $の項ではありません。これは、線形分散のより正確な表現です。
- @NickP whoi.edu/fileserver.do?の式(7)を参照して編集しました。 id = 136524 & pt = 10 & p = 85713
- それ'は常にGrimshawを信頼することをお勧めします:-)彼は私が'言っていることを正確に表現しています。
回答
分散関係は、波の周波数$ \ omega $がその波長$ \ lambda $にどのように依存するかを示しますが、数学的には位相速度は
$ v _ {\ rm phase} \ \ = \ omega / k $ <であるため、方程式を作成するときは、逆波長、または波長$ k = 2 \ pi / \ lambda $を使用することをお勧めします。 / p>
そしてグループ速度は
$ v _ {\ rm group} \ \ = d \ omega / dk $です。
これらはすべてのタイプの波に適用されます。真空中の電磁波について:
$ \ omega(k)= ck $
したがって
$ v _ {\ rm位相} \ \ = v_ { \ rmグループ} \ \ = c $。
波は分散していません。媒体では、ガラスなどの均質な媒体でも、屈折率は周波数とともに増加するため(もちろん、可視光で)、光は色によって分散されます。
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