편심 벡터 방정식이 항상 -1과 같은 이유는 무엇입니까?
On 2월 13, 2021 by admin이것은 편심 벡터 방정식입니다. $$ e = \ frac {1} {\ mu} [( v ^ 2-{\ mu \ over r}) r- (r \ cdot v) v] $$ $$ e = | e | $$ 이제이 방정식은 여러 소스에서 다르게 작성되었지만 본질적으로 동일한 의미입니다. 나는이 방정식을 시도해 보았고 변수에 어떤 값을 주었 든간에 대답은 항상 -1 (또는 절대적으로 1)입니다. 나는 포물선의 편심이 1이라는 것을 이해하지만이 방정식은 타원에도 적용됩니다. 그렇다면 왜 항상 -1일까요? 내가 뭔가를 놓치고 있습니까? 미리 감사드립니다.
댓글
답변
오른쪽의 표현은 편심 벡터 를 제공하기위한 것이지만 벡터 표기법이 손실되었습니다.
여기에 이 답변 이 있습니다.
$$ e = {v ^ 2 r \ over {\ mu}}-{(r \ cdot v) v \ over {\ mu}}-{r \ over {\ left | r \ right |}} $$
벡터 특성도 명확하지 않습니다. 다음과 같이 작성해야합니다.
$$ \ mathbf {e} = {v ^ 2 \ mathbf {r} \ over {\ mu}}-{(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}}-{\ mathbf {r} \ over {r}} $$
굵은 얼굴은 벡터를 나타내고 $ v = | \ mathbf {v} | $ 및 $ r = | \ mathbf { r} | $ 또는
$$ \ mathbf {e} = {| \ mathbf {v} | ^ 2 \ mathbf {r } \ over {\ mu}}-{(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}}-{\ mathbf {r} \ over {\ left | \ mathbf {r} \ right |}} $$
$ (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} $ 용어 $ \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v} $ 는 벡터 내적이며 스칼라를 반환합니다. , 그러면 벡터 $ \ mathbf {v} $ 를 곱합니다.
다음은이를 확인하는 빠른 계산입니다. 저는 $ \ mu = 1 $ 및 $ a = 1 $ 를 사용하여 궤도주기가 $ 2 \ pi $ 가되도록합니다. 편심 벡터 x 성분이 +0.8이고 일정하고 y 성분이 0.0임을 알 수 있습니다. 이는 편심 벡터가 항상 근시 방향을 가리키고 크기 가 항상 같음을 확인합니다. 스칼라 편심,이 경우 0.8
Python 스크립트 :
def deriv(X, t): x, v = X.reshape(2, -1) acc = -x * ((x**2).sum())**-1.5 return np.hstack((v, acc)) import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import odeint as ODEint halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)] e = 0.8 peri = 1. - e apo = 1. + e vperi = np.sqrt(2./peri - 1.) # vis-viva equation X0 = np.array([peri, 0] + [0, vperi]) times = np.linspace(0, twopi, 201) answer, info = ODEint(deriv, X0, times, full_output=True) r, v = answer.T.reshape(2, 2, -1) vsq = (v**2).sum(axis=0) rabs = np.sqrt((r**2).sum(axis=0)) evec = vsq*r - (r*v).sum(axis=0) * v - r/rabs if True: x, y = r plt.figure() plt.subplot(2, 1, 1) plt.plot(x, y) plt.plot([0], [0], "oy", markersize=16) # the Sun plt.xlim(-2, 0.5) plt.ylim(-1.25, 1.25) plt.subplot(4, 1, 3) plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("x, y", fontsize=16) plt.subplot(4, 1, 4) x, y = evec plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("evec_x, evec_y", fontsize=16) plt.show()
댓글
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- @uhoh 명확히하기 위해, 벡터 내적은 원형 궤도에서 항상 0이됩니다. 맞습니까? 내 속도가 나를 데려가는 곳과 반경 사이의 각도가 항상 90 도입니다. 그리고 타원 궤도에서 벡터 내적은 정점과 근시에서 0입니다.
- @StarMan 예, ' 사실입니다. 원형의 경우 궤도, 또는 모든 근시와 타원의 종말에 대해 $ \ mathbf {v} \ cdot \ ma thbf {r} $는 0이됩니다. 빠른 확인으로 : $ e = 0 $ 인 원의 경우 오른쪽의 두 번째 항이 0이면 $ 0 = v ^ 2 r / mu-1 $가 있으며 $ v ^ 2 = mu / r $이됩니다. $ r = a $ 인 원형 궤도에 대한 vis-viva 방정식 입니다.
+1
정말 좋은 질문입니다. 저는 ' 지금 답변을 작성하고 있습니다. 20 분 정도 소요됩니다 …