구의 외부 및 내부 전기장
On 12월 31, 2020 by admin반경 a의 절연 구는 구의 부피에 균일하게 분포 된 총 전하 $ q $를 전달합니다.
나는 가우스 법칙을 사용하여 구 안팎의 전기장 분포를 찾으려고합니다.
우리는 구형 대칭 전하 분포를 가진 닫힌 가우스 표면에서 가우스 법칙 상태를 알고 있습니다. : $ \ frac {q} {ε_0} = \ oint \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} $
- 구 외부 : 논리적으로 구 외부의 전하는 항상 가우시안 표면에 있고 “변하지 않으므로 구 외부의 전기장 : $ E = \ frac {q} {4πε_0r ^ {2}} $
- 구 내부 : 전하가 표면에 대칭으로 분포되어 있고 반경이 r 인 구형 내부에 반경이 r 인 작은 구형을 이미지하면 작은 구형의 표면에 전하가 적습니다. $ E = \ frac {q \ r} {4πε_0a ^ {3}} $
이 설명으로 충분합니까?
전 도구?
답변
가우스 공식을 사용할 때 q는 표면에 분포 된 전하가 아니라 전하입니다. 가우시안 구로 둘러싸여 있습니다. 구 내부에서는 전하가 표면이 아닌 볼륨 전체에 고르게 분포되어 있습니다. 즉, 절연체 내부를 고려할 때 가우스 구체로 둘러싼 부피와 전하 분포를 사용하여 해당 부피 내부에 얼마나 많은 전하가 있는지 고려해야합니다.
답변
가우스 법칙에 대해 약간의 오해가있을 수 있습니다. 표면 전체에 통합 된 닫힌 표면의 법선 벡터와 전기장 벡터의 스칼라 곱의 적분은 표면 내부에 포함 된 총 전하와 같습니다 (일부 일정 시간). 이것은 구형 표면뿐만 아니라 닫힌 표면에서도 마찬가지입니다. 이 경우 구형 표면은 전기장의 대칭으로 인해 필드 벡터가 항상 표면의 법선 벡터와 평행하기 때문에 매우 편리합니다. 즉
$$ \ oint \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} = E * 4 \ pi * r ^ 2 \ tag {1} $$
여기서 방정식의 좌변과 우변은 모두 원점으로부터의 거리 r의 함수이며 모든 r에 대해 참입니다. E는 전기장의 크기입니다.
이제이 표면에 포함 된 전하를 r의 함수로 고려해 보겠습니다. 차지 볼 내부에서이 함수는
$$ q_ {enc} (r) = \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 \ rho \ tag {2} $$
여기서 $ \ rho $는 볼륨 당 전하 밀도입니다. 공 밖에서 어떤 거리에 있든 동봉 된 전하는 항상 q (총 전하)입니다. 당신이 언급 한대로 가우스 법칙을 통해 이것을 (1)과 결합하면
$$ E (r) = \ frac {q} {4 \ pi \ epsilon r ^ 2} \ tag {3} $ $
공 바깥 쪽
$$ E (r) = \ frac {\ rho r} {3 \ epsilon} \ tag {4} $$
내부. ($ \ rho = \ frac {q} {(4/3) \ pi a ^ 3} $ 두 번째 공식이 맞습니다.)
대신 전 도구를 사용하면 모든 요금이 분배됩니다. 가능한 한 서로 멀리 떨어져 있기를 원하기 때문입니다. 이것은 공 내부에서 상상하는 닫힌 표면에 더 이상 전하가 없음을 의미하기 때문에 내부의 전자장이 모든 곳에서 0임을 의미합니다. 공 외부에서 가우스 표면은 전체 전하를 다시 포함하므로 e- 필드의 공식 외부에서 다시 (3)이됩니다. 외부에서 볼 때 균일하게 충전 된 공은 표면에만 충전 된 공과 똑같고 총 충전이 동일한 원점의 포인트 충전 필드와 똑같습니다.
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