변환이 표준 변환인지 확인하는 방법은 무엇입니까?

변환이 표준인지 확인하는 간단한 테스트가 세 가지 있습니다. 일부 곱셈 상수는 정확한 정의에 따라 특정 교과서에 나타날 수 있습니다. 정규 변환입니다.

표기법

$ x = (p, q) $를 $ 2n $ 변수로, 변환 된 변수를 $ \ tilde {x} (x) =로 설정합니다. (\ tilde {p} (p, q), \ tilde {q} (p, q)) $.

심플 렉틱 야 코비안의 방법

Let $ J = \ 부분 \ tilde {x} / \ partial x $는 변환의 야 코비 행렬입니다. 또한 $ \ mathbb {E} $를 $ 2n \ times 2n $ 블록 행렬 $$ \ mathbb {E} = \ begin { pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \ end {pmatrix} $$

그런 다음 변환은 다음 경우에만 표준입니다.

$$ J \ mathbb {E} J ^ T = \ mathbb {E} $$

푸 아송 괄호 방법

변환은 기본 포아송 괄호가 유지되는 경우에만 정규적입니다.

$$ \ {\ tilde {p} _i, \ tilde {p} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {q} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {p} _j \} = \ delta_ {ij} $$

Liouville 미분 형식의 방법

이것은 다소 덜 실용적이지만 완전성을 위해 포함합니다. 변환은 미분 형식 $ \ sum_i p_i \ mathrm {d} q_i-\ sum_i \ tilde {p} _i \ mathrm {d} \ tilde {q} _i $가 닫혀있는 경우에만 표준입니다.

코멘트

• 상징적 야 코비안 (바람직하게는 책)의 방법에 대한 참조를 줄 수 있습니까? 🙂

힌트 : 포아송 대괄호는 표준 불변입니다.

$$ \ {F, G \} _ {q, p} = \ {F, G \} _ {Q, P} $$

댓글

• 그러면 $ \ {Q, P \} _ {q, p} = 1 $?
• 예; 이것은 CT의 더 강력한 정의입니다. PB는 파생물과 유사하므로, 즉 체인 규칙을 따르기 때문에 요청하는 관계를 확인하기 위해 두 개의 항만 쉽게 계산하면됩니다.

또 다른 방법 (실용적인 지름길)은 생성 함수를 찾는 것입니다. 이 경우 $ Q $와 $ p $가 더 기본적인 변수로 보이기 때문에 $ F_3 (Q, p) $를 사용합니다. 원래 방정식은 \ begin {align} P & = q \, \ cot p \ tag {1} \\ q & = e ^ {-Q} \, \ sin p. \ tag {2} \ end {align} Eq. (1)은 \ begin {align} P = e ^ {-Q} \, \ cos p와 같습니다. \ tag {3} \ end {align}

이제 Eqs. (2)와 (3)에서 $ F_3 (Q, p) = e ^ {-Q} \ cos p $가 \ begin {align} P =-\ frac {\ partial F_3} {\ partial을 만족하는지 쉽게 확인할 수 있습니다. Q}, \ tag {4} \\ q =-\ frac {\ partial F_3} {\ partial p}. \ tag {5} \ end {align} 이것은 주어진 변환에 대해이 $ F_3 (Q, p) $에 의해 생성된다는 것을 의미하며, 따라서 정규적입니다.

$ F_3의 가능한 함수 형식에 유의하십시오. (Q, p) $는 시행 착오 접근법에서 추론 할 수 있습니다. 이 경우 실제로 Eq를 통합했습니다. (4), $$ F_3 =-\ int P \, dQ =-\ int e ^ {-Q} \ cos p \, dQ = e ^ {-Q} \ cos p, $$ 그런 다음 Eq를 만족하는지 확인했습니다. . (5).

Enucatl의 답변은 충분히 만족 스럽습니다. 그러나 질문에 주어진 $$ P = q \ cot (p), $$ $$ Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right), $$ 예제에서, 차원 불일치가있는 것 같습니다.

$ \ cot $ 내부의 인수는 $ [p / (p_o)] $이어야합니다. 여기서 $ p_o $는 운동량 차원을 갖고 로그 인수는 $ 여야합니다. $ q_o \ frac {\ sin (p / p “_o)} {q}, $$ $ p”_o $는 $ p_o $와 같을 필요가 없습니다. P와 Q가 각각 운동량과 길이의 차원을 가지고 있지 않더라도 중요하지 않을 수 있습니다 (정규 변환의 일반적인 경우에 따라 잘 알려져 있음).

차원 일치를위한 작업이 있는지 알고 싶습니다. $ c = 1 $을 취하고 자유 입자의 상대 주의적 에너지를 $ E = (m ^ 2 + p ^ 2) ^ {1/2}라고 부르는 특정 책의 유행 (내가 좋아하지 않는) 방식과 같은 암시 $ 대신 $ E = (m ^ 2 c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2) ^ {1/2} $ 등).