복잡한 임피던스
On 2월 16, 2021 by admin복잡한 임피던스를 갖는다는 것은 무엇을 의미합니까?
예를 들어 커패시터의 임피던스 (라플라스 도메인에서) ?)는 1 / sC (내가 믿는다)로 주어지며, 과도 현상이 무시되는 \ $ \ dfrac {1} {j \ cdot 2 \ pi \ cdot f \ cdot C} \ $와 같습니다. 임피던스가 가상이라는 것은 무엇을 의미합니까?
저는 현재 대학에서 전기 공학 2 년차에 있습니다. 가능하다면 수학적으로 유효하고 철저한 응답을 주시면 감사하겠습니다. 학습 자료 (웹 및 종이 자료)를 참조하는 것이 이상적입니다.
미리 감사합니다.
댓글
- 아렌 ‘ 당신의 과정에서 정확히 이것을 공부하고 계십니까? 당신은 이미 이것에 대해 아주 자세하게 다룬 교과서를 한 두 권 가지고 있습니다. 이것은 매우 광범위한 주제이며 어렵습니다 더 구체적인 질문없이 답변 할 수 있습니다.
- 추가 리소스
- 내가 생각하는 교과서는 이것이 이전 과정에서 이미 알려져 있으며 ‘이를 가르치지 않았습니다. 또한 강사가 순서를 섞어서 ‘ 아마 나중에 배울 것이지만 우리가 필요로하기 전에는 그렇지 않을 것입니다.
- 당신의 사촌이 많은 주제를 건드리지 않았고 엔지니어링 과정에있어 ‘ 매우 불편하다는 사실을 알게되었습니다 …
답변
TL; DR 임피던스의 허수 부분은 반응 임피던스 성분; 이것은 전류와 전압 사이의 위상 차이와 회로에서 사용되는 무효 전력의 원인이됩니다.
기본 원리는 모든 주기적 신호를 (때로는) 합으로 처리 할 수 있다는 것입니다. 고조파라고하는 무한 사인파, 동일한 간격의 주파수. 각각은 자체 신호로 개별적으로 처리 될 수 있습니다.
이러한 신호의 경우 다음과 같은 표현을 사용합니다. $$ v (t) = V_ {0} \ cos (2 \ pi ft + \ phi) = \ Re \ {V_ {0} e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi} \} $$
그리고 우리가 이미 복잡한 영역에 뛰어 들었다는 것을 알 수 있습니다. 숫자는 복잡한 지수를 사용하여 회전을 나타낼 수 있기 때문입니다.
따라서 임피던스는 활성 (저항) 또는 반응 (반응)이 될 수 있습니다. 정의상 첫 번째는 리액턴스가 신호의 위상 (\ $ \ phi \ $)에 영향을 미치지 않는 반면, 복소수를 사용하여 리액턴스에 의해 도입 된 위상의 변화를 평가할 수 있습니다.
따라서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. $$ V = I \ cdot Z = I \ cdot | Z | \ cdot e ^ {j \ theta} $$
여기서 | Z |는 임피던스의 크기입니다. , 주어진 값 : $$ | Z | = \ sqrt {R ^ 2 + X ^ 2} $$
그리고 theta는 임피던스에 의해 도입 된 위상이며 다음과 같이 지정됩니다. $$ \ theta = \ arctan \ left (\ frac {X} {R} \ right) $$
이전 함수에 적용하면 $$ v (t) = \ Re \ {I_ {0} | Z | e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi + \ theta} \} = I_ {0} | Z | \ cos (2 \ pi ft + \ phi + \ theta) $$
이상적인 커패시터를 생각해 봅시다. 임피던스는 \ $ \ frac {1} {j \ omega C} =-\ frac {j} {\ omega C} \ $가 될 것입니다. 삼각 원주에 넣으면 -90 °의 위상을 얻습니다. 이는 순전히 용량 성 부하에서 전압이 전류보다 90 ° 뒤쳐진다는 것을 의미합니다.
그래서 w hy?
100 Ohm과 50 + i50 Ohm (또는 복소수없이 \ $ 70.7 \ angle 45 ^ \ circ \ $)의 두 가지 임피던스를 합산한다고 가정 해 보겠습니다. 그런 다음 복소수를 사용하여 실수 부와 허수 부를 합하고 150 + i50 Ohm을 얻습니다.
복소수를 사용하지 않으면 코사인과 사인을 사용할 수 있기 때문에 문제가 훨씬 더 복잡해집니다. 복소수를 사용하는 것과 같음) 또는 크기와 위상의 혼란에 빠지십시오. 그것은 당신에게 달려 있습니다.
이론
질문 :
- 신호의 고조파 표현은 일반적으로 푸리에 급수 분해로 해결됩니다.
$$ v (t) = \ sum _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {jnt}, \ text {여기서} c_ {n} = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {-\ pi} ^ {\ pi} v (t) e ^ {-jnt} \, dt $$
- 복소 지수는 다음과 같이 코사인과도 관련됩니다. Euler의 공식 :
$$ cos (x) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {-ix}} {2} $$
댓글
- 응답 해 주셔서 감사합니다. v (t) 등식과 관련하여 명확히, 의미합니까? v (t) = v0 cos (2pi f0 t + phi) + v1 cos (2pi f1 t + phi) + … + vn cos (2pi fn t + phi) (신호는 무한한 수로 표현 될 수 있기 때문에 다른 주파수의 정현파)? 그러면 cos (x) = 0.5 exp (ix) + 0.5 exp (-ix)에서 R (V0 exp (j2pift + phi)) 항을 도출합니까? 이 경우 0.5 exp (-2pift …) 항은 어디로 가나 요?또한 Ohm ‘의 법칙 방정식에서 아마도 V (t)는 실제 표현식으로 평가되지만 exp (j omega)는 그렇지 않습니다 ‘ t, 어떻게 작동합니까? 다시 한 번 감사드립니다.
- MMH 많은 질문 :). 정확히는 아니지만 첫 번째에 대해서는 푸리에 급수 표현을 확인하지만 이론적으로는 다른 분해도 가능합니다. 지수에 대해서는 예, ‘ Eulero 등가입니다. 마지막 질문도 마찬가지입니다. 복잡한 지수는 회전을 제공하지만 ‘ 실제 부분 만 취합니다.
- 와우 ‘ 빠른 응답입니다! 왜 실제 부분 만 취합니까? ‘ 수학적으로 유효하지 않은 것 같습니다. 다시 한 번 감사드립니다.
- 제가 ‘이게 누락 되었나요? ” Aexp (i omega) …는 기본 정현파의 진폭과 위상을 인코딩하는 축약 표기법으로 이해됩니다. ” en.wikipedia.org/wiki/Phasor#Definition 에서. 복소수 표현이 각도 (위상)와 크기의 표현의 속기라는 생각입니까?
- @JonaGik 예, 그것은 ‘ 편리한 표현입니다. 위키 페이지에도 나와 있듯이 정현파 신호입니다. 모든 수학적 객체는 실제 문제를 표현하거나 해결하기위한 속기라고 말할 수 있습니다 …
답변
나는 이것이 당신의 질문에 전적으로 대답하지 않을 것이라고 확신합니다. 사실 저는 이것이 이미 무시한 것처럼 보이는 대답을 보완하기를 바랍니다. 복소수의 사용 뒤에있는 개념 (이미 말했듯이, 수학적 “수량”의 유형).
여기서 답해야 할 첫 번째 주요 질문은 왜 복소수인지입니다. 그리고이 질문에 답하기 위해 우리는 자연수부터 실수까지 다양한 숫자 세트의 필요성을 이해해야합니다.
어릴 때부터 자연수는 사람들이 예를 들어 사과와 오렌지를 셀 수있게했습니다. 시장에서. 그런 다음 음수를 사용하여 “부채”개념을 해결하기 위해 정수가 도입되었습니다 (당시에는 이해하기 어려운 개념이었습니다). 이제 유리수와 분수로 “수량”을 표현할 필요가 있으면 상황이 더욱 흥미로워집니다. 이 숫자에 대한 흥미로운 점은 2 개의 정수가 필요하다는 것입니다. 예를 들어 3/8과 같이 자연수와 정수와 같이 하나만 필요하지 않습니다. “수량”을 나타내는이 방법은 예를 들어 8 조각 파이에 남은 조각 (3)의 수를 설명하는 데 매우 유용합니다. 예를 들어 5 개를 이미 먹었을 때 🙂 (정수로는 할 수 없습니다!)
이제 불합리한 숫자와 실수를 뛰어 넘어 복소수로 가보겠습니다. 전자 엔지니어는 선형 회로 (예 : 저항기, 커패시터 및 인덕터로 구성됨)에서 다른 유형의 “수량”, 정현파 전압 (및 전류)을 설명하고 작동해야하는 문제에 직면했습니다. 그들은 복소수가 해결책이라는 것을 알아 냈습니다.
엔지니어들은 정현파가 A (진폭), \ $ \ omega \ $ (각 주파수) 및 위상의 세 가지 구성 요소로 표현된다는 것을 알고있었습니다. (\ $ \ phi \ $) : $$ y (t) = A \ cdot sin (\ omega t + \ phi) $$
그들은 또한 선형 회로에서 각 주파수 (\ $ \ omega \ $)는 노드간에 변경되지 않습니다. 즉, 프로빙중인 회로의 어느 지점에 관계없이 주파수가 아닌 진폭과 위상의 차이 만 볼 수 있습니다. 그런 다음 정현파 전압 (또는 전류)의 흥미로운 (변하는) 부분이 진폭과 위상이라는 결론을 내 렸습니다. 따라서 유리수와 마찬가지로 선형 회로 노드에서 가변 정현파 전압을 나타 내기 위해 두 개의 숫자가 필요합니다 (이 경우 (A, phi)). 사실 그들은 복소수 대수, 즉 여러분이이 숫자들을 작동하고 서로 연관시키는 방식이 정현파가 선형 회로에 의해 작동되는 방식과 함께 장갑처럼 적합하다는 것을 깨달았습니다.
그러므로 커패시터의 임피던스는 \ $ \ frac {1} {j \ omega C} \ $ 즉, 위에서 채택한 표기법에서 (A = 1 / C, phi = -90º), 실제로 전압이 90º 지연된다고 말합니다. 현재 단계와 관련하여. 그리고 상상적이고 복잡한 것에 대한 “초월적인”명명법을 잊어 버리십시오. 사실 우리는 두 개의 직교 구성 요소를 가진 “양”에 대해 이야기하고 있습니다 (즉, 칵테일 컵에서 아무리 세게 흔들어도 혼합되지 않는 “양”) “)는 벡터와 마찬가지로 현상의 두 가지 물리적 측면을 나타냅니다.
업데이트
Michael D. Alder의 “An Introduction to Complex Analysis for Engineers”(Michael D. Alder)를 읽을 것을 강력히 추천하는 몇 가지 메모도 있습니다. 이것은 주제에 대한 매우 친숙한 접근 방식입니다. 특히 첫 번째 장을 권장합니다. .
답변
복소수를 사용하는 것은 위상 및 위상이 아닌 구성 요소를 모두 나타내는 수학적 방법입니다. 전압. 가상 임피던스는 “임피던스가 존재하지 않는다는 것을 의미”하는 것이 아니라 전류와 전압이 서로 위상이 맞지 않음을 의미합니다. 마찬가지로 실제 임피던스는 일상적인 의미에서 실제를 의미하는 것이 아니라 전류가 전압과 위상이 일치한다는 것을 의미합니다.
댓글
- 이해합니다. 개념적으로 이러한 아이디어는 복잡한 임피던스가 실제로 어떻게 작동하는지 궁금합니다. 복잡한 임피던스는 수학적 이유가 무엇이며 어떻게 파생됩니까?
- @JonaGik 내 대답이 부족한 곳은 무엇입니까? 이 수학적 이유 …
- 이것이 맞습니까? 복소수 표현이 각도 (위상)와 크기의 표현에 대한 속기라는 생각입니까? 따라서 복잡한 임피던스를 해석 할 때이를 고려합니다. 단순히 위상 지연과 크기를 나타내는 것입니까?
답변
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설명 RCL 컨텍스트에서 “복잡한”수량이 의미하는 바를 이해하기 위해 SEEK 아래에 있습니다. “가상”구성 요소의 개념은 사람들이 단순한 기본 영역에 대해 눈을 멀게하는 유용한 은유입니다. lities. 아래의 텍스트는 RC 용어로 이야기하고 있지만 실제로는 더 이상 신비 롭지 않은 LC의 신비를 다루지 않습니다.
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다른 사람의 설명을 찾기 전에 교과서 나 인터넷 검색 엔진을 사용하여 자신이 제기 한 대부분의 요점을 해결하기 위해 최선을 다하는 것이 더 큰 도움이 될 것입니다. 이 질문은 반응 구성 요소가있는 AC 회로의 기본에 매우 근본적입니다. 어려운 질문을 다루는 것은 교육 전반에 걸쳐 비슷한 일을 어떻게 처리 할 것인지에 대한 우선 순위를 설정하며 인터넷에는이 주제를 다루는 수백만 페이지가 있습니다 (Gargoyle은 ~ = 1 천 1 백만이지만 누가 알 수 있습니까?). 당신이 요구하는 디테일의 정도와 철저 함은 “바깥”에 방대한 양의 디테일을 감안할 때 이와 같은 사이트에서는 비현실적입니다. (사이트 소유자가 Wikipedia의 하위 집합을 복제하려고하지 않는 한).
SO-기본 사항을 이해하는 데 도움이되는 것이 좋은 생각이어서 여기서부터 시작하여 실행할 수 있습니다. 따라서 …
입력 단자를 직렬 저항에 연결하고 다른 커패시터를 “접지”하면 직렬 RC 회로를 얻게됩니다.
Vin-저항-커패시터-접지.
이제 입력에 스텝 전압을 적용하면 커패시터 전류가 일치하는 단계를 거치지 만 커패시터는이 전압을 사용하여 충전을 시작하여 저항에서 전류를 생성합니다. 커패시터로 흐르는 전류는 Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / Rseries로 설정되기 때문에 전압 증가는 기하 급수적입니다. 즉, Vcap이 상승함에 따라 저항의 전위가 떨어지고 전류가 감소합니다. 이론적으로는 Vcap이 Vin에 도달하는 데 무한한 시간이 걸리지 만 실제로는 거의 3 개의 시간 상수가 있습니다. 여기서
t = RC = Iin이 1 / eth로 떨어질 때까지 걸리는 시간 초기 값. 참조를 읽은 후 이미 알고 있거나 수행 할 1 / e 용어의 내용과 이유
지금, 구형파 신호를 적용하면 입력이 양수일 때 커패시터가 위와 같이 충전됩니다. 입력이 접지되거나 음수 일 때 유사한 지수 방식으로 방전됩니다. 커패시터 전류는 Vin을 따르고 Vin이 높음 / 낮음 또는 높음으로 전환 될 때 최대가되지만, 위에서 설명한 이유로 커패시터 전압은 정상 상태에 도달 한 후 Vcap을 플로팅하고 I cap을 구성하면 한 전체 입력 사이클이 360 도인 경우 최대 거의 90도 또는 거의 적은 각도로 오프셋 된 두 개의 파형을 찾을 수 있습니다. 전류보다 뒤쳐지는 것은 입력 주파수와 RC ti에 따라 다릅니다. 저를 일정하게 유지합니다.
초보자에게는 이것이 마법 (또는 티오 티 몰린 *의 사용)처럼 보일 수 있습니다. 전류 파형은 전압 이전에 최대 1/4주기까지 발생하지만 이는 논리적 인 이유 때문입니다. 그 이유는 위에서 설명한 바와 같이 검사시 반드시 직관적으로 명확하지 않습니다.
커패시터, 저항기 및 인덕터를 다양한 방식으로 결합하기 시작하면 다양한 파형의 상대적 위상을 수학적으로 다룰 수 있어야합니다. [처음에는 페이저가 기절하도록 설정되어있는 것처럼 보일 수 있습니다.]
일부 유능한 구상이나 주제에 대한 천만 개 정도의 웹 페이지를 살짝 들여다 보면 위상 관계가 서로 다르고 상호 지수 관계를 기반으로하는 두 개의 파형이있는 경우 각 파형은 용어로 복소수로 표현할 수있는 [R, Theta] 형식의 극 표현으로 표현할 수 있습니다. 극성을 반영하는 X 및 Y 구성 요소가 있습니다.
주어진 상황에서 전압과 전류의 관계를 나타내는 폴라 “벡터”는 회전 벡터 암 “메타포”를 사용하여 기준에 대한 암의 길이와 위상 각을 제공합니다. 이“은유”는 X 및 Y 구성 요소로 대체 될 수 있습니다. 여기서 극성 형태의 크기는 R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2)이고 각도 theta는 tan ^ -1 (X / Y ). 아래 다이어그램 형식으로 확인할 수 있습니다.
경고 -용어에 속지 마십시오.
복소수라는 용어는 단순히 전문 용어입니다. sqrt (-1)의 사용은 산술이 작동하도록하는 은유의 유용한 부분입니다. 그러나 관련된 실제 수량은 전적으로 실제이며 “보통”입니다. 인덕터 및 커패시터와 같은 반응 요소를 사용할 때 전력은 더 이상 단순히 크기 용어의 곱이 아닙니다. 전압 및 전류 벡터. 즉, V.sin (fred) x I.sin (Josepine)의 전력은 (일반적으로) = VI가 아닙니다. 이것은 관련된 변수에 대해 특별하거나 마술 적이거나 복잡하거나 가상적인 것을 의미하지 않습니다. 시간 변형이고 피크 크기는 일반적으로 일치하지 않습니다.
추가 읽기-적극 권장 :
- I Asimov.
코멘트
- @Kortuk-위의 대부분은 제 이니셜 이전에 작성되었습니다. 서면 답변이지만 그 단계에서 게시하지 않았지만 더 잘 확인되면 적절한 과정에 추가되었을 수 있습니다. 알다시피, 나는 종종 초기 게시물에 많은 양의 자료를 추가합니다. 그의 경우 (당근없이) 당신의 당근과 막대기 접근 방식은 다소 낙담 적이었지만 잘못된 동기 부여 스타일이 가장 정상적인 효과를 얻도록하는 것은 부끄러운 것 같습니다. 일부는 귀 주변의 부드러운 커핑에 충분히 반응하지만 대부분은 아닙니다. ‘ 찾았습니다. 일부는 동의하지 않습니다 :-).
답변
커패시턴스와 인덕턴스를 가상 저항으로 표현하면 다음과 같은 이점이 있습니다. 저항으로 선형 문제를 해결하는 잘 알려진 방법을 사용하여 저항, 커패시터 및 인덕터의 선형 문제를 해결할 수 있습니다.
이러한 선형 문제와 잘 알려진 방법은 예를 들어
- 문제 : 직렬로 연결된 두 저항의 저항 계산
방법 : R = R1 + R2
는 다른 저항기 / 커패시터 / 인덕터와 직렬로 연결된 저항기 / 커패시터 / 인덕터의 임피던스를 계산하는 데에도 사용할 수 있습니다. -
문제 : 두 저항의 병렬 저항 계산
방법 : R = R1 * R1 / (R1 + R2)
또한 저항 / 커패시터 / 인덕터의 임피던스를 계산하는 데 사용할 수 있습니다. 다른 저항기 / 커패시터 / 인덕터와 병렬 -
문제 : 저항기, DC 전압 및 DC 전류 소스가 포함 된 네트워크 해결
방법 : 동시 시스템 해결 선형 방정식
은 저항, 커패시터, 인덕터, AC 또는 DC 전압 및 AC 또는 DC 전류 소스를 포함하는 네트워크를 해결하는데도 사용할 수 있습니다. - 등
실제 저항 값 (저항기 만 해당) 및 DC 소스로 작동하는 모든 공식 / 방법은 복잡한 값 (저항기, 인덕터, 커패시터) 및 AC 소스에서도 잘 작동합니다.
답변
복소수를 사용하여 동 위상 및 역 위상 신호의 조합을 나타내는 직관적 인 이유가 반드시 필요한 것은 아니지만 ” 복소수에 대한 산술적 규칙은 저항, 커패시터 및 인덕터의 실제 동작 및 상호 작용에 매우 잘 맞는 것으로 나타났습니다.
복소수는 실수 부분과 “허수”부분의 합입니다. “부분은 -1의 제곱근으로 정의되는 i 를 곱한 실수로 나타낼 수 있습니다. 복소수는 A + Bi 형식으로 작성 될 수 있으며 A 와 B 는 모두 실수입니다. 그런 다음 다항식 산술 규칙을 사용하여 i 를 변수로 처리하여 복소수를 처리 할 수 있지만 i ² x -1 (예 : Pi × Qi 의 곱은 -P × Q).
특정 주파수에서 각 항목의 유효 임피던스를 계산 한 다음 옴의 법칙을 사용하여 저항, 인덕터 및 커패시터의 네트워크가 작동하는 방식을 결정할 수 있습니다. 직렬 및 병렬 조합의 유효 저항과이를 통한 전압 및 전류를 계산합니다.또한 저항, 커패시터 및 인덕터는 모두 선형 장치이기 때문에 각 특정 주파수에 대해 수행 할 작업을 계산 한 다음 결과를 더하여 주파수 조합이 주입 될 때 네트워크가 어떻게 동작할지 계산할 수 있습니다. 복잡한 산술은 필터와 같은 동작을 분석 할 때 매우 유용 할 수 있습니다. 입력의 함수로 필터의 출력을 계산할 수 있기 때문입니다. 어떤 주파수 f 에서 실수 v 볼트의 입력 신호를 공급 받으면 특정 노드에서 전압이나 전류를 계산할 수 있습니다. 실제 부분은 주입 된 파형과 위상이 같고 가상 부분은 90도 위상차가됩니다. 회로 동작을 해결하기 위해 멋진 미분 방정식을 사용하는 대신 복소수로 비교적 기본적인 산술을 할 수 있습니다.
Answer
복소수는 크기와 위상이있는 수량에 대해 전기 공학에서 사용됩니다. 전기 임피던스는 전류 대 전압의 비율입니다. AC 전류 및 전압의 경우 전류 및 전압 파형이 위상이 같지 않을 수 있습니다. 임피던스의 위상은이 위상차를 알려줍니다.
댓글
- 왜 다운 투표를해야합니까?
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