신호 분석 관점에서 볼 때 컨볼 루션과 교차 상관의 차이
On 2월 12, 2021 by admin컨볼 루션과 교차 상관의 차이를 이해하려고합니다. 이해 한 이 답변을 읽었습니다. 아래 그림도 이해합니다.
하지만 신호 처리 측면에서 (내가 거의 알지 못하는 분야 ..), 두 개의 신호 (또는 신호와 필터)가 주어지면 언제 컨볼 루션을 사용하고 언제 상호 상관을 사용하는 것을 선호합니다. 즉, 실제 분석에서 언제 컨볼 루션을 선호할지, 언제 상호 상관을 선호 할지를 의미합니다.
이 두 용어가 많이 사용되는 것 같습니다. 사용 하시겠습니까?
* 교차 상관 여기에서 f*g
대신 g*f
를 읽어야합니다.
Answer
신호 처리에서는 두 가지 문제가 일반적입니다.
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입력이 $ x (t) $ 일 때이 필터의 출력은 무엇입니까? 답은 $ x (t) \ ast h (t) $로 주어집니다. 여기서 $ h (t) $는 필터의 “임펄스 응답”이라고하는 신호이고 $ \ ast $는 컨볼 루션 연산입니다.
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시그널 $ y (t) $에 잡음이있을 때 $ x (t) $ 신호가 $ y (t) $에 어떻게 든 존재합니까? 즉, $ y (t) $는 $ x (t) + n (t) $ 형식이며, $ n (t) $는 노이즈입니까? 답은 $ y (t) $와 $ x (t) $의 상관 관계에서 찾을 수 있습니다. 주어진 시간 지연 $ \ tau $ 동안 상관 관계가 크면 대답이 예라고 확신 할 수 있습니다.
관련된 신호가 대칭, 회선 및 상호 상관은 동일한 작업이됩니다. 이 경우는 DSP의 일부 영역에서도 매우 일반적입니다.
댓글
- 알았습니다. 명확하고 밝은 답변에 감사드립니다!
- 임펄스 응답 설명에 대해 제가 좋아하는 점은 컨볼 루션이 ” 역전 된 “. 개별 용어로, 전류 출력은 시간 0에서의 전류 입력 x 임펄스 응답 + 이전 입력 임펄스 응답의 잔여 출력입니다 (입력 n-1 * 임펄스 1 + 입력 n-2 * 임펄스 2 등).
- @ Jean-FredericPLANTE 예, ‘이를 설명하는 좋은 방법입니다.
- @ Jean-FredericPLANTE 주석이 포함 된이 답변은 더 합리적입니다.
답변
두 용어 컨볼 루션 및 교차 상관 은 DSP에서 매우 유사한 방식으로 구현됩니다.
사용하는 것은 애플리케이션에 따라 다릅니다.
선형 시간 불변 필터링 작업을 수행하는 경우 신호를 시스템의 임펄스와 컨볼 루션 합니다. 응답.
두 신호 간의 “유사성을 측정”하는 경우 두 신호를 교차 상관 합니다.
시도 할 때 두 용어가 합쳐집니다. 생산하는 일치 필터 .
여기서는 주어진 신호 $ s [n] $에 알려진 “펄스”(신호), $ p [n] $가 포함되어 있는지 확인하려고합니다. 이를 수행하는 한 가지 방법은 주어진 신호 $ s $를 알려진 펄스의 시간 반전과 컨볼 루션하는 것입니다. $ p $ : 이제 컨볼 루션을 사용하여 알려진 펄스와 주어진 신호의 상호 상관을 수행합니다.
사이드 노트
교차 상관이라는 용어 (일부에게는) DSP 분야에서 오용되고 있습니다.
통계 학자에게 상관 관계는 두 변수가 얼마나 가깝고 $ -1 $에서 $ + 1 $ 사이 여야 하는지를 측정하는 값입니다.
p>
교차 상관에 대한 Wikipedia 항목에서 볼 수 있듯이 DSP 버전이 사용되며 다음과 같이 명시되어 있습니다.
교차 상관은 한 계열이 다른 계열에 대한 지연의 함수로서 두 계열의 유사성을 측정 한 것입니다.
DSP 정의의 문제점 : $$ \ sum _ {\ forall m} x [n] y [n + m] $$는이 “유사성”측정이 각 신호의 에너지에 따라 달라진다는 것입니다.
댓글
- 이것은 저에게 매우 유용합니다. 감사합니다!
Answer
@MathBgu 위의 모든 답변을 읽었습니다. 모두 매우 유익한 한 가지입니다. 더 나은 이해를 위해 다음과 같은 컨볼 루션 공식을 고려하여 추가하고 싶습니다
$$ f (x) * g (x) = \ int \ limits_ {-\ infty} ^ {\ infty} f (\ tau) g (x- \ tau) \, d \ tau $$
및 교차 상관
$$ (f \ star g) (t) \ stackrel {\ text {def}} {=} \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {\ infty} f ^ * (\ tau) g (t + \ tau) \, d \ tau, $$
방정식 측면에서 유일한 차이점은 컨볼 루션에서 수행하기 전에 슬라이딩 내적 우리는 y 축 i에서 신호를 뒤집습니다.e 우리는 $ (t) $ 를 $ (-t) $ 로 변경하지만 교차 상관은 두 신호의 슬라이딩 내적.
컨볼 루션을 사용하여 두 개의 블록 / 신호가 있고 시간 영역에서 서로 바로 옆에있는 시스템의 출력 / 결과를 얻습니다.
Comments
- thos additionsl clearifying point를 언급 해주셔서 감사합니다!
- f *의 *는 복잡한 켤레를 의미합니까? ” y 축을 가로 지르는 ” 대신 ” 시간 축을 반대로 “, 플립은 수직으로 진행되는 것처럼 느껴지기 때문입니다. y 축을 언급 할 때.
Answer
신호 처리에서 출력을 얻기 위해 회선이 수행됩니다. LTI 시스템의. 상관 관계 (자동 또는 교차 상관)는 일반적으로 나중에 다른 계산에 사용하기 위해 계산됩니다.
상관, 공분산 및 상관 계수를 혼동하지 않도록주의해야합니다. 상관 관계가 반드시 -1과 1 사이 일 필요는 없습니다. 상관 계수 ( https://en.wikipedia.org/wiki/Pearson_product-moment_correlation_coefficient )는- 1과 1은 두 개의 랜덤 변수 분산에 의해 스케일되기 때문입니다. 우리가 기억해야 할 것은 두 개의 랜덤 변수가 얼마나 관련되어 있는지 분석하기 위해 통계 신호 처리에서 수행되는 실제 작업이 상관이 아니라 “공분산”이라는 것입니다. 그러나 신호가 센서에 의해 캡처되고 전압으로 변환되고 ADC로 디지털화되는 대부분의 애플리케이션의 경우 신호가 평균이 0이라고 가정 할 수 있으므로 상관 관계는 공분산과 같습니다.
댓글
- 그 링크를 살펴 보겠습니다. 감사합니다!
답변
컨볼 루션과 상관 관계의 의미 사이에는 많은 미묘한 차이가 있습니다. 둘 다 선형 대수의 내적과 투영에 대한 더 넓은 개념에 속합니다. 즉, 한 벡터를 다른 벡터에 투영하여 후자의 방향으로 얼마나 “강한 지”결정합니다.
이 아이디어는 신경망 분야로 확장됩니다. 여기서 데이터 샘플을 행렬의 각 행에 투영하여 해당 행에 얼마나 잘 맞는지 결정합니다. 각 행은 특정 객체 클래스를 나타냅니다. 예를 들어, 각 행은 필기 인식을 위해 알파벳 문자를 분류 할 수 있습니다. 각 행을 뉴런으로 지칭하는 것이 일반적이지만 일치 필터라고도 할 수 있습니다.
본질적으로 우리는 두 가지가 얼마나 유사한 지 측정하거나 특정 특징을 찾으려고합니다. 예를 들어 신호 또는 이미지. 예를 들어, 대역 통과 필터를 사용하여 신호를 컨볼 루션하는 경우 해당 대역에 어떤 콘텐츠가 있는지 확인하려고합니다. 신호를 정현파 (예 : DFT)와 상관시킬 때 신호의 강도를 찾습니다. 신호의 정현파 주파수. 후자의 경우 상관 관계가 “미끄럽지 않지만”여전히 두 가지를 “상관”한다는 점에 유의하십시오. 신호를 정현파에 투영하기 위해 내부 곱을 사용합니다.
그러면 차이점은 무엇입니까? 음, 컨볼 루션을 사용하면 신호가 필터에 대해 역방향이라는 것을 고려하십시오. 시변 신호를 사용하면 데이터가 필터에 들어가는 순서입니다. 잠시 동안 상관 관계를 내적, 즉 한 가지를 다른 것으로 투영하는 것으로 정의 해 보겠습니다. 따라서 처음에는 신호의 첫 번째 부분을 필터의 첫 번째 부분과 연관시킵니다. 신호가 필터를 통해 계속되면 상관 관계가 더 완전 해집니다. 신호의 각 요소는 필터의 요소는 그 시점에서 “만지고”있습니다.
그러면 컨볼 루션을 사용하면 어떤 의미에서 상관 관계가 있지만 신호가 시스템과 상호 작용할 때 변경이 발생하는 시간 순서를 보존하려고합니다. 그러나 필터가 대칭 적이라면 실제로는 중요하지 않습니다. 컨볼 루션과 상관 관계는 동일한 결과를 생성합니다.
상관 관계를 사용하면 두 신호를 비교하고 시도하지 않습니다. 이벤트 순서를 보존합니다. 그것들을 비교하기 위해, 우리는 그것들이 같은 방향, 즉 정렬되기를 원합니다. 신호가 서로 위상이 맞지 않거나 더 큰 신호에서 더 작은 신호를 찾는 경우 각 시간 창에서 유사성을 테스트 할 수 있도록 하나의 신호를 다른 신호 위로 슬라이드합니다.
이미지 처리에서는 상황이 약간 다릅니다. 우리는 시간을 신경 쓰지 않습니다. Convolution에는 여전히 유용한 수학적 속성 이 있습니다. 그러나 더 큰 이미지의 일부를 일치시키려는 경우 더 작은 것 (예 : 일치 된 필터링)은 기능이 정렬되지 않기 때문에 뒤집기를 원하지 않을 것입니다. 물론 필터가 대칭이 아닌 한.이미지 처리에서, 특히 신경망 에서 상관 관계와 컨볼 루션을 서로 바꿔서 사용할 수 있습니다. 이미지가 2 차원 데이터의 추상적 인 표현 인 경우 시간은 여전히 관련이 있습니다. 여기서 1 차원은 시간입니다. 스펙트로 그램. 요약하자면 상관 관계와 컨볼 루션은 모두 공간이나 시간에 따라 달라 지므로 한 가지를 다른 것으로 투영하는 데 사용되는 내적을 슬라이딩하는 것입니다. 컨볼 루션은 순서가 중요 할 때 사용되며 일반적으로 데이터를 변환하는 데 사용됩니다. 상관 관계는 일반적으로 더 큰 것, 즉 일치하는 것에서 작은 것을 찾는 데 사용됩니다. 두 “사물”중 적어도 하나가 대칭이면 어떤 것을 사용하든 상관 없습니다.
답변
신호 처리는 제쳐두고, Convolution과 Correlation에서 무슨 일이 일어나고 있는지 이해하려고한다면 둘 다 매우 유사한 연산입니다. 유일한 차이점은 Convolution이고 변수 중 하나는 제품의 누적을 수행하기 전에 반전 (뒤집)됩니다. 위의 어디에서나 signal 이라는 단어를 사용하지 않습니다. 수행 된 작업에 대해서만 이야기하고 있습니다.
이제 신호 처리에 대해 살펴 보겠습니다.
Convolution 연산은 입력 singal ( x ) 및 시스템의 임펄스 응답 ( h ). 왜 컨볼 루션 연산 만 LTI 시스템의 출력을 얻는 데 사용되는지 이해하려면 , 큰 파생이 있습니다. 여기에서 파생어를 찾으십시오.
http://www.rctn.org/bruno/npb163/lti-conv/lti-convolution.html
상관 연산은 유사성을 찾는 데 사용됩니다. 두 신호 x와 y 사이. 상관 관계의 가치가 높을수록 두 신호 간의 유사성이 더 많습니다.
여기에서 차이점을 이해하십시오.
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컨볼 루션-> 신호와 시스템 간의 (필터)
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상관 관계-> 두 신호 간의
따라서 신호 분석 관점에서 Convolution 연산은 사용되지 않습니다. . 신호 분석 관점에서는 상관 관계 만 사용됩니다. 컨볼 루션은 시스템 분석 관점에서 사용됩니다.
컨볼 루션과 상관의 연산을 이해하는 가장 좋은 방법은 질문의 다이어그램에 표시된 것처럼 두 개의 연속 변수간에 두 개의 컨볼 루션과 상관이 수행 될 때 어떤 일이 발생하는지 이해하는 것입니다.
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