모수에 대한 정규 분포의 도함수를 얻는 방법은 무엇입니까?
On 2월 13, 2021 by admin우리는 일반적으로 매개 변수, 평균 및 분산에 대한 정규 밀도의 미분을 계산합니다. 그러나 우리는 매개 변수에 대한 정규 분포의 미분을 계산할 수 있습니까 (변수가 아니라 변수에 대한 미분 wrt가 밀도를 제공한다는 것을 압니다)? 그렇다면 어떻게 계산합니까?
답변
단지 차별화를 위해 체인 규칙 을 적용하면됩니다. . $ N (\ mu, \ sigma ^ 2) $ 랜덤 변수 $ X $의 CDF $ F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) $는 $ \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu}입니다. {\ sigma} \ right) $ 등 $$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) = \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ frac {-1} {\ sigma} =-\ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ right] $$ 여기서 $ \ phi (x) $는 표준입니다. 위의 가장 오른쪽 표현식에서 대괄호 안에있는 정규 밀도와 수량은 $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ 2) $의 밀도로 인식 할 수 있습니다.
$ \ sigma $ 또는 $ \ sigma ^ 2 $와 관련하여 파생 된 것입니다.
댓글
- @indumann 미분 $의 숫자 값을 찾기 위해 " 일반 테이블 "을 사용하려는 이유를 아니요 \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) =-\ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu } { \ sigma} \ right) \ right] $ 미분에는 알려진 간단한 공식이 있기 때문입니다. 예, Abramowitz 및 Stegun 과 같은 오래된 표에는 정규 밀도 함수 값에 대한 표가 있지만 요즘에는 " 과학적 " 계산기는 R, MATLAB, Python 및 Excel은 말할 것도없고 쉽게 사용할 수 있으며 …, 파생물을 평가하는 것은 쉽습니다.
- 다운 보터가 무엇을 찾았는지 궁금합니다. 내 대답에 대해 이의가 있습니다.
답변
단순한 미적분입니다. 적분 (즉, 누적 확률 함수)는 기본적으로 합계입니다. 따라서 합계의 미분은 미분의 합계와 동일합니다. 따라서 적분에서 함수 (즉, 밀도)를 미분하고 적분하면됩니다. 미적분학의 기본 정리, 일부는 여기에서 “싫어했습니다.
다음은 정상적인 확률로 어떻게 수행 할 것인지입니다. 첫째, 확률 함수 $ F (x; \ mu, \ sigma) $ 및 밀도 $ f (x; \ mu, \ sigma) $에 대한 일반 관계에서 평균과 표준 편차는 매개 변수입니다. $$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} \ int _ {-\ infty} ^ xf (x; \ mu, \ sigma ) dx = \ int _ {-\ infty} ^ x \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} f (x; \ mu, \ sigma) dx $$
실제로 이 조작의보다 일반적인 형식은 Leibnitz 규칙 이라고합니다. 확률 함수를 변수 자체 (예 : $ \ frac {\ partial} {\ 부분 x} $)는 밀도 (PDF)를 제공합니다.
다음으로 밀도를 연결합니다. $$ = \ int _ {-\ infty} ^ x \ frac {\ partial} {\ partial \ mu } \ frac {e ^ {-(x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx = \ int _ {-\ infty} ^ x \ frac {2 ( x- \ mu)} {\ sigma ^ 2} \ frac {e ^ {-(x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx $$
변수 변경 $ \ xi = \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2} $ : $$ = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma } \ left (-\ int_0 ^ \ infty e ^ {-\ xi} d \ xi + \ int_ {0} ^ {\ xi (x)} e ^ {-\ xi} d \ xi \ right) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} \ left (-1- (e ^ {-\ xi (x)}-1) \ right) $$ $$ =-\ frac {e ^ {-\ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2}}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} $$
따라서 다음과 같습니다. $$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) =-f (x ; \ mu, \ sigma) $$
분산으로 유사한 트릭을 사용할 수 있습니다.
댓글
- @dilipsarwate 감사. 즉, 값을 얻으려면 일반 테이블을 찾아야합니다.
- 안타깝게도 " 합의 파생물이 다음과 같다는 것은 일반적으로 사실이 아닙니다. [the] 도함수의 합계와 동일합니다. "
- 안타깝게도 최종 결과에는 음수 부호가 없습니다 (위의 공식에서 올바르게 나타남). 그러나 결과는 다른 방식으로도 잘못되었습니다. 지금은 오류를 수정하고 아마도 첫 번째 단락을 다시 작성하는 동안이 답변에 반대 투표를하겠습니다.
- 아닙니다. 실수는 "라고 말한 직후에 시작됩니다. 그런 다음 밀도를 연결하고 " 거기에서 전파합니다.
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