분산 관계 이해
On 2월 14, 2021 by admin분산 관계의 물리적 의미를 이해하려고합니다. 미디어가 얼마나 이질적인가? 아니면 전자기장이 미디어에 얼마나 퍼져 있습니까? 또는?
Answer
분산 관계 는 파동 벡터 $ k $와 주파수 $ \ omega $ 사이의 관계. 분산 관계는 일반적으로 선형이 아닌 $ \ omega (k) $에 대한 함수 관계의 형태를 취합니다. $ \ omega / k $는 기본적으로 파동의 (위상) 속도에 해당하므로 분산 관계는 파장에 대한 위상 속도의 의존성을 설명합니다.
가장 잘 알려진 예는 빛의 분산입니다. 프리즘 :
짝수 프리즘이 균일 한 유리로 만들어지면 유리의 굴절률이 $ k $에 따라 달라져 분산이 발생합니다.
기계적 파동에서-문자열이나 공중에서-관계식 $ \ omega / k = $ 상수는 1 차 근사 일뿐입니다 (실제로는 선형 근사치입니다. 관련 파동 방정식은 선형 PDE)이고 실제 분산 관계는 더 복잡합니다. 예를 들어, 문자열에서 파동의 주파수는 $$ \ omega ^ 2 = \ frac {T_0} {\ rho_0} k ^ 2 + \ alpha k ^ 4 + \ ldots \ tag {만큼 파동 벡터와 현실적으로 관련됩니다. 1} $$ 여기서 $ T_0 $는 스트링의 장력이고 $ \ rho_0 $는 스트링의 선형 밀도입니다. 계수 $ \ alpha $는 $ 0 $가 될 것입니다. 문자열은 완벽하게 탄력적이었습니다. Eq. (1)은 $ k ^ 2 $에서 Taylor 확장의 시작임을 제안하기 위해 작성되었습니다.
따라서 OP의 질문에 구체적으로 대답하기 위해 분산은 매체의 동질성 부족을 측정하는 것이 아니라 $ \ omega $와 $ k $ 사이의 단순한 선형성 부족을 측정합니다. 모든 파장이 약간 다른 주파수로 전파되기 때문에 파동이 단색이 아닐 때 특히 중요합니다. 매질이 물리적으로 균질하더라도.
양자 물리학에서 에너지는 $ \ hbar \ omega $와 관련이 있기 때문에 분산 관계는 문제의 몇 가지 필수적인 물리적 특징을 포착합니다. 예를 들어, Klein-Gordon 방정식의 분산 관계는 ($ \ hbar $ 및 $ c = 1 $를 사용하는 단위) $$ \ omega ^ 2 = k ^ 2 + m ^ 2 $$입니다. 잘 알려진 상대주의 방정식 $ E ^ 2 = p ^ 2 + m ^ 2 $.
주석
- KdV 방정식의 분산 관계는 다음을 포함합니다. 파동의 진폭 (실제로 수심에 대한 파동의 비율). 그 '는 $ k ^ 3 $ 항이 아니라 비선형 성입니다. 이것은 단순히 선형 분산을보다 정확하게 표현한 것입니다.
- @NickP whoi.edu/fileserver.do?의 Eq. (7)을 참조하여 편집했습니다. id = 136524 & pt = 10 & p = 85713
- 그것 '는 항상 Grimshaw를 신뢰하는 것이 좋습니다. 🙂 그는 제가 ' 내 말을 정확하게 설명합니다.
답변
분산 관계는 파동의 주파수 $ \ omega $가 파장 $ \ lambda $에 따라 어떻게 달라지는 지 알려줍니다. 그러나 수학적으로는 위상 속도는
$ v _ {\ rm phase} \ \ = \ omega / k $ <이므로 역 파장 또는 파수 $ k = 2 \ pi / \ lambda $를 사용하는 것이 좋습니다. / p>
그리고 그룹 속도는
$ v _ {\ rm group} \ \ = d \ omega / dk $입니다.
이것은 모든 유형의 파도에 적용됩니다. 진공 상태의 전자파 관련 :
$ \ omega (k) = ck $
그래서
$ v _ {\ rm phase} \ \ = v_ { \ rm 그룹} \ \ = c $.
파동은 분산이 없습니다. 유리와 같은 균질 한 매체에서도 굴절률이 주파수에 따라 증가하므로 (물론 가시 광선에서) 빛이 색상별로 분산됩니다.
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