Leiten Sie den Vektorgradienten in sphärischen Koordinaten aus den ersten Prinzipien ab.
On Dezember 31, 2020 by adminVersuchen Sie zu verstehen, wo $ \ frac {1} {r sin (\ theta)} $ und $ 1 / r $ Bits kommen in der Definition von Gradient .
Ich habe die sphärischen Einheitsvektoren abgeleitet, aber jetzt verstehe ich nicht, wie man kartesisches del überhaupt in sphärisches del umwandelt. Die Leute sagen immer wieder, benutze die Kettenregel, aber ich sehe sie nicht!
Hilfe?
Kommentare
- I. Ich glaube, die Art und Weise, sie aus wirklich ersten Prinzipien abzuleiten, sollte darin bestehen, die Metrik aus $ \ mathbb {R} ^ 3 $ zurückzuziehen, wenn $ S ^ 2 $ eingebettet wird … Eine vielleicht weniger fundamentale, aber immer noch zufriedenstellende Art, Dinge zu tun, ist die Definition von $ x, y, z $ in Bezug auf $ r, \ theta, \ phi $ und von dort aus arbeiten.
- Ich meine, wie wandelt man kartesisch in sphärische Polare um?
- Wäre math.stackexchange.com ein besseres Zuhause für diese Frage?
- @Qmechanic In Australien lernen wir diese Identität an der Universität im zweiten Jahr Physik. Ich spiele gerade selbst mit der Ableitung herum, da ich bereits weiß, wie man dies mit einem allgemeinen Ergebnis aus reiner Mathematik macht, aber eine Ableitung ohne diese Abstraktionsebene zu finden, könnte für den allgemeinen Physikstudenten von Interesse sein. Wie geht es Ihnen? Die Grenze zwischen Mathematik und Physik ziehen? Nicht ohne ein lo t Blut auf dem Teppich würde ich denken.
Antwort
Sie haben um einen Beweis aus „ersten Prinzipien gebeten „. Machen wir es also. Ich werde die häufigsten Fehlerquellen hervorheben und später einen alternativen Beweis zeigen, der keine Kenntnisse der Tensorrechnung oder der Einstein-Notation erfordert.
Der harte Weg
Zunächst die Koordinatenkonvention:
$$ (r, \ theta, \ phi) \ rechter Pfeil (x, y, z) = (r \ sin \ theta \ cos \ phi, \; r \ sin \ theta \ sin \ phi, \; r \ cos \ theta) $$
Auf die gleiche Weise können wir $ (x, y, z) $ als $ x \ ausdrücken , \ mathbf {\ hat e} _x + y \, \ mathbf {\ hat e} _y + z \, \ mathbf {\ hat e} _z $, wir können auch $ (r, \ theta, \ phi) $ ausdrücken als $ r „\, \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta“ \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ phi „\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $, aber jetzt Die Koeffizienten sind nicht die gleichen: $ (r „, \ theta“, \ phi „) \ neq (r, \ theta, \ phi) $ im Allgemeinen. Dies liegt daran, dass die sphärischen Koordinaten krummlinig sind, sodass die Basisvektoren nicht an allen Punkten gleich sind. Für kleine Variationen sind sie jedoch sehr ähnlich. Genauer gesagt, relativ zu einem Punkt $ \ vec {\ mathbf p} _0 = (x, y, z) $, einem Nachbarpunkt $ \ vec {\ mathbf p} _1 = (x + \ Delta x, \; y + \ Delta y, \; z + \ Delta z) $ kann beschrieben werden durch $ \ Delta \ vec {\ mathbf p} = (\ Delta x, \ Delta y, \ Delta z) $ und in sphärischen Koordinaten, wenn diese Variation “ infinitesimal „, dann $ d \ vec {\ mathbf p} = (dr, d \ theta, d \ phi) = dr \, \ mathbf {\ hat e} _r + d \ theta \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + d \ phi \, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $. Dies ist im Grunde die Motivation, die (nicht normalisierte) Basis wie folgt zu definieren:
$$ \ vec {\ mathbf e} _r = \ frac {\ partielle \ vec {\ mathbf p}} {\ partielle r} , \ quad \ vec {\ mathbf e} _ \ theta = \ frac {\ partiell \ vec {\ mathbf p}} {\ partiell \ theta}, \ quad \ vec {\ mathbf e} _ \ phi = \ frac { \ partielle \ vec {\ mathbf p}} {\ partielle \ phi} $$
Dies ist jedoch noch nicht normalisiert. Zufälligerweise stellt sich heraus, dass $ || \ partiell \ vec {\ mathbf p} / \ partiell r || $ $ 1 $ ist, aber $ || \ partiell \ vec {\ mathbf p} / \ partiell \ theta || = r $, wie wir sehen werden.Die tatsächliche Basis sollte also wie folgt definiert werden:
$$ \ hat {\ mathbf e} _r = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _r} {|| \ vec {\ mathbf e} _r ||}, \ quad \ hat {\ mathbf e} _ \ theta = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _ \ theta} {|| \ vec {\ mathbf e} _ \ theta ||}, \ quad \ hat {\ mathbf e} _ \ phi = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _ \ phi} {|| \ vec {\ mathbf e} _ \ phi ||} $$
Explizit:
$$ \ begin {align} \ vec {\ mathbf e} _r & = \; (& \ sin \ theta \ cos \ phi &, & \ sin \ theta \ sin \ phi &, & \ cos \ theta) \\ \ vec {\ mathbf e} _ \ theta & = \; (& r \ cos \ theta \ cos \ phi &, & r \ cos \ theta \ sin \ phi &, & -r \ sin \ theta) \\ \ vec {\ mathbf e} _ \ phi & = \; (& -r \ sin \ theta \ sin \ phi & , & r \ sin \ th eta \ cos \ phi &, & 0) \ end {align} $$
$$ \ begin {align} || \ vec {\ mathbf e} _r || ^ 2 & = \ sin ^ 2 \ theta (\ cos ^ 2 \ phi + \ sin ^ 2 \ phi ) + \ cos ^ 2 \ theta & & = 1 \\ || \ vec {\ mathbf e} _ \ theta || ^ 2 & = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta (\ cos ^ 2 \ phi + \ sin ^ 2 \ phi) + r ^ 2 \ sin \ theta & & = r ^ 2 \\ || \ vec {\ mathbf e} _ \ phi || ^ 2 & = r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta (\ sin ^ 2 \ phi + \ cos ^ 2 \ phi) & & = r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ end {align} $$
$$ \ begin {align} \ hat {\ mathbf e} _r & = \ vec {\ mathbf e} _r & & = & & (& \ sin \ theta \ cos \ phi &, & \ sin \ theta \ sin \ phi &, & \ cos \ theta) \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta & = \ vec {\ mathbf e} _ \ theta / r & & = & & (& \ cos \ theta \ cos \ phi &, & \ cos \ theta \ sin \ phi &, & – \ sin \ theta) \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi & = \ vec {\ mathbf e} _ \ phi / (r \ sin \ theta) & & = & & (& – \ sin \ phi &, & \ cos \ phi &, & 0) \ end {align} $$
Sie können überprüfen, ob dies auch eine orthogonale Basis bildet (daher orthonormal). Zum Beispiel:
$$ \ begin {align} \ hat {\ mathbf e} _r \ cdot \ hat {\ mathbf e} _ \ theta & = \ sin \ theta \ cos \ theta \ cos ^ 2 \ phi + \ sin \ theta \ cos \ theta \ sin ^ 2 \ phi – \ sin \ theta \ cos \ theta \\ & = 0 \ end {align} $$
Das muss im Allgemeinen nicht passieren.
Um mithilfe der Basisvektoren von einem Koordinatensatz zum anderen zu gelangen, müssen wir Löse:
$$ \ begin {bmatrix} \ hat {\ mathbf e} _r \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \\ \ cos \ theta \ cos \ phi & \ cos \ theta \ sin \ phi & – \ sin \ theta \\ – \ sin \ phi & \ cos \ phi & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ hat {\ mathbf e} _x \\ \ hat {\ mathbf e} _y \\ \ hat {\ mathbf e} _z \ end {bmatrix} $$
für $ \ hat {\ mathbf e} _x $, $ \ hat {\ mathbf e} _y $ und $ \ hat {\ mathbf e} _z $ in Bezug auf $ \ ha t {\ mathbf e} _r $, $ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta $ und $ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi $. Dann kann jeder Vektor $ \ vec {\ mathbf p} = x \, \ mathbf {\ hat e} _x + y \, \ mathbf {\ hat e} _y + z \, \ mathbf {\ hat e} _z $ sein geschrieben in der Form $ r „\, \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta“ \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ phi „\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $ durch einfache Substitution. Da diese spezielle Basis orthonormal ist, gibt es einen alternativen Weg: Verwenden Sie einfach das Punktprodukt. Um beispielsweise $ r „$ zu erhalten:
$$ \ begin {align} \ vec {\ mathbf p} \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r & = r „\, \ mathbf {\ hat e} _r \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta“ \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta \ cdot \ mathbf {\ hat e } _r + \ phi „\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r \\ & = r“ \ end {align} $$
Nun zum Farbverlauf.Mit der Matrixnotation können wir den Gradienten als Zeilenvektor schreiben und die Formel für die Kettenregel lautet:
$$ \ begin {align} \ vec \ nabla f & = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partielles f} {\ partielles x} & \ frac {\ partielles f} {\ partielles y} & \ frac {\ partielles f} {\ partielles z} \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partielles f } {\ partielle r} & \ frac {\ partielle f} {\ partielle \ theta} & \ frac {\ partielle f} {\ partielle \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ frac {\ partielle r} {\ partielle x} & \ frac {\ partielle r} {\ partielle y} & \ frac {\ partielles r} {\ partielles z} \\ \ frac {\ partielles \ theta} {\ partielles x} & \ frac {\ partiell \ theta} {\ partiell y} & \ frac {\ partiell \ theta} {\ partiell z} \\ \ frac {\ partiell \ phi } {\ partielle x} & \ frac {\ partielle \ phi} {\ partielle y} \ frac {\ partielle \ phi} {\ partielle z} \ end {bmatrix} \ end {align} $$
Rufen Sie die Matrix rechts $ J $ (it) auf „s die Jacobi-Matrix ). Beachten Sie, dass dies auch umgekehrt funktioniert:
$$ \ begin {bmatrix} \ frac {\ partielle f} {\ partielle r} & \ frac {\ partielle f} {\ partielle \ theta} & \ frac {\ partielle f} {\ partielle \ phi} \ end {bmatrix} \\ = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partielles f} {\ partielles x} & \ frac {\ partielles f} {\ partielles y} & \ frac {\ partielle f} {\ partielle z} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ frac {\ partielle x} {\ partielle r} & \ frac {\ partielle y } {\ partielles r} & \ frac {\ partielles z} {\ partielles r} \\ \ frac {\ partielles x} {\ partielles \ theta} & \ frac {\ partielles y} {\ partielles \ theta} & \ frac {\ partielles z} {\ partielles \ theta} \\ \ frac { \ partielles x} {\ partielles \ phi} & \ frac {\ partielles y} {\ partielles \ phi} & \ frac { \ partielle z} {\ partielle \ phi} \ end {bmatrix} $$
Und nenne diese andere Matrix $ J „$. Wir können die erste Gleichung in invertieren Holen Sie sich $ \ vec \ nabla f \, J ^ {- 1} = \ vec \ nabla f \, J „$ $ \ Rightarrow $ $ \ vec \ nabla f \, \ left (J ^ {- 1} -J“ \ right) = 0 $. Da dies für ein beliebiges $ f $ funktioniert, haben wir $ J ^ {- 1} – J „= 0 $ $ \ Rightarrow $ $ J“ = J ^ {- 1} $. Eine wichtige Konsequenz ist, dass im Allgemeinen:
$$ \ frac {\ partiell a} {\ partiell b} \ neq \ left (\ frac {\ partiell b} {\ partiell a} \ rechts) ^ {- 1} $$
Es scheint, dass das OP diesen Fehler in einem -Kommentar gemacht hat, der $ \ teilweise r / \ teilweise verwirrt x $ mit $ (\ partielles x / \ partielles r) ^ {- 1} = 1 / (\ sin \ theta \ cos \ phi) $, wie es der Fall wäre, wenn wir reguläre (statt partielle) Ableitungen verwenden würden.
Nun haben wir zwei Möglichkeiten, die Matrix $ J $ zu berechnen. Direkt oder indem Sie zuerst $ J „$ berechnen und dann invertieren. Lassen Sie es uns direkt tun.Wir werden die Ausdrücke für $ r $, $ \ theta $ und $ \ phi $ in Bezug auf $ x $, $ y $ und $ z $ benötigen (für andere Koordinatensysteme ist dies möglicherweise sehr schwer zu erhalten). :
$$ \ begin {align} r & = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} \\ \ theta & = \ arctan \ left (\ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {z} \ right) \\ \ phi & = \ arctan \ left (\ frac {y} {x} \ right) \ end {align} $$
Die partiellen Ableitungen sind:
$$ \ begin {align} \ frac {\ partielles r} {\ partielles x} & = \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ sin \ theta \ cos \ phi \\ \ frac {\ partielle r} {\ partielle y} & = \ frac {y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ frac {\ partielles r} {\ partielles z} & = \ frac {z} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ cos \ theta \ end {align} $$
$$ \ begin {align} \ frac {\ par tial \ theta} {\ partielles x} & = \ frac {zx} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ left (x ^ 2 + y ^ 2 +) z ^ 2 \ right)} & & = \ frac {\ cos \ theta \ cos \ phi} {r} \\ \ frac {\ partiell \ theta} {\ partiell y} & = \ frac {zy} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ left (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ right)} & & = \ frac {\ cos \ theta \ sin \ phi} {r} \\ \ frac {\ partiell \ theta} {\ partiell z} & = – \ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} & & = – \ frac {\ sin \ phi} {r} \ end {align} $ $
$$ \ begin {align} \ frac {\ partielle \ phi} {\ partielle x} & = – \ frac {y} {x ^ 2 + y ^ 2} & & = – \ frac {\ sin \ phi} {r \ sin \ theta} \\ \ frac {\ partiell \ phi} {\ partiell y} & = \ frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} & & = \ frac {\ cos \ phi} {r \ sin \ theta} \\ \ frac {\ partielle \ phi} {\ partielle z} = 0 & & = 0 \ end {align} $$
Our Jacobian ist dann:
$$ J = \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \\ \ frac {\ cos \ theta \ cos \ phi} {r} & \ frac {\ cos \ theta \ sin \ phi} {r} & – \ frac {\ sin \ phi} {r} \\ – \ frac {\ sin \ phi} {r \ sin \ theta} & \ frac {\ cos \ phi} {r \ sin \ theta} & 0 \ end {bmatrix} $$
Alternativ hätten wir den inversen Jacobi berechnen können (was einfach ist) und ihn dann invertieren können (was ein Albtraum ist).Wir können Wolfram Alpha verwenden, um zu bestätigen, dass das gleiche Ergebnis erzielt wird:
Schließlich verwenden wir das Punktprodukt, um die Koeffizienten $ r „$, $ \ theta“ $ und zu finden $ \ phi „$:
$$ r“ = \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partielle f} {\ partielle r } & \ frac {\ partielles f} {\ partielles \ theta} & \ frac {\ partielles f} {\ partielles \ phi } \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi \\ \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ cos \ theta \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac { \ partielles f} {\ partielles r} & \ frac {\ partielles f} {\ partielles \ theta} & \ frac {\ partiell f} {\ partiell \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix} = \ frac {\ partiell f} {\ partiell r} $$
$$ \ theta „= \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _ \ theta = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partielle f} {\ partielle r} & \ frac {\ partielle f} {\ partielle \ theta} & \ frac {\ partielle f} {\ partielle \ phi} \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} \ cos \ theta \ cos \ phi \\ \ cos \ theta \ sin \ phi \\ – \ sin \ theta \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partielle f} {\ partielle r} & \ frac {\ partielles f} {\ partielles \ theta} & \ frac {\ partielles f} {\ partielles \ phi} \ end { bmatrix} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 / r \\ 0 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {r} \ frac {\ partielle f} {\ partielle \ theta} $$
$$ \ phi „= \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _ \ phi = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partielle f} {\ partielle r} & \ frac {\ partielle f} {\ partielle \ theta} & \ frac {\ partielle f} {\ partielle \ phi} \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} – \ sin \ phi \\ \ cos \ phi \\ 0 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partielle f} {\ partielle r} & \ frac {\ partielle f} {\ partielle \ theta} & \ frac {\ partielle f} {\ partielle \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } 0 \\ 0 \\ 1 / (r \ sin \ theta) \ end {b Matrix} = \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partielle f} {\ partielle \ phi} $$
Deshalb:
$$ \ vec \ nabla f = \ frac {\ partielles f} {\ partielles r} \ mathbf {\ hat e} _r + \ frac {1} {r} \ frac {\ partielles f} {\ partielles \ theta} \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partielles f} {\ partielles \ phi} \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $$
Ein viel besserer Weg
Wir brauchen eine neue Notation, um zu vermeiden, dass beispielsweise für $ x $, $ y $ und $ z $ unterschiedliche Buchstaben verwendet werden müssen. Verwenden wir stattdessen Indizes von $ 1 $ bis $ 3 $. Für kartesische Koordinaten verwenden wir den Buchstaben $ x $ und für sphärische Koordinaten den Buchstaben $ r $. Folgendes sollte selbsterklärend sein:
$$ \ vec {\ mathbf p} = \ sum_i x_i \ mathbf {\ hat x} ^ i = \ sum_k r_k \ mathbf {\ hat r} ^ k $$
Aus dem Definition der Basisvektoren:
$$ \ mathbf {\ vec r} ^ k = \ frac {\ partielle \ vec {\ mathbf p}} {\ partielle r_k}, \ quad \ mathbf {\ hat r} ^ k = \ frac {\ mathbf {\ vec r} ^ k} {|| \ mathbf {\ vec r} ^ k ||} = \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partiell \ vec {\ mathbf p}} {\ teilweise r_k} $$
Wobei $ h_k \ triangleq || \ mathbf {\ vec r} ^ k || $. Erweitern auf der $ x $ -Basis:
$$ \ mathbf {\ hat r} ^ k = \ sum_j \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partielle x_j} {\ partielle r_k} \ mathbf {\ hat x} ^ j $$
Jetzt ist der Verlauf nur noch:
$$ \ vec \ nabla f = \ mathbf {\ vec F} = \ sum_i F_i \ mathbf {\ hat x} ^ i = \ sum_i \ frac {\ partielles f} {\ partielles x_i} \ mathbf {\ hat x} ^ i $$
Um die $ k $ „-te Komponente in sphärischen Koordinaten zu erhalten ($ F“ _k $) Verwenden Sie das Punktprodukt:
$$ \ begi n {align} F „_k & = \ mathbf {\ vec F} \ cdot \ mathbf {\ hat r} ^ k \\ & = \ left (\ sum_i \ frac {\ partielles f} {\ partielles x_i} \ mathbf {\ hat x} ^ i \ right) \ cdot \ left (\ sum_j \ frac {1} {h_k} \ frac { \ partielle x_j} {\ partielle r_k} \ mathbf {\ hat x} ^ j \ rechts) \\ & = \ frac {1} {h_k} \ sum_i \ frac {\ partielles f} {\ partielles x_i} \ frac {\ partielles x_i} {\ partielles r_k} \\ & = \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partielles f} {\ teilweise r_k} \ end {align} $$
und wir sind fertig.
Kommentare
- Vielen Dank so sehr! Es hat viel Verwirrung in meinem Kopf geklärt, insbesondere die Unterscheidung zwischen dem Jacobian und der Änderung der Basismatrix, die in Form und Idee ähnlich und ziemlich verwirrend sind. Vielen Dank auch, dass Sie mir die Augen für den Unterschied zwischen Koordinaten und Komponente geöffnet haben.
- Würde die letzte Formel übrigens auch für nicht orthogonale Basen gelten?
- @JonasDaverio Nein, weil Punktprodukte nur orthogonale Projektionen ergeben. Wenn Sie sich die Koeffizienten $ \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partielle x_j} {\ partielle r_k} $ ansehen, können Sie diese als Matrix schreiben. Im allgemeinen Fall müssen Sie ‚ die inverse Transponierung davon verwenden. Im orthogonalen Fall ist die inverse Transponierung zufällig die eigene Matrix.
- Oh ja, Sie ‚ sprechen über den metrischen Tensor, ist das Schreiben? Da es für orthogonale Basen diagonal ist, bleibt die Umkehrung diagonal.
- Sehr gut beantwortet.Ich ‚ weiß nicht, warum diese Antwort nicht ‚ oben ist
Antwort
Wir nehmen: $$ x = r \ cos \ theta \ cos \ phi $$ $$ y = r \ cos \ theta \ sin \ phi $$ $ $ z = r \ cos \ theta $$
Nun kennen Sie die Definition des Gradienten in kartesischen Koordinaten: $ \ vec {\ nabla} = \ frac {\ partiell} {\ partiell x} \ hat {x} + \ frac {\ partiell} {\ partiell y} \ hat {y} + \ frac {\ partiell} {\ partiell z} \ hat {z} $
Nun verwenden wir die Kettenregel oder jede Komponente. Zum Beispiel $$ \ frac {\ partiell} {\ partiell x} = \ frac {\ partiell r} {\ partiell x} \ frac {\ partiell} {\ partiell r} + \ frac {\ partiell \ theta} { \ partielles x} \ frac {\ partielles} {\ partielles \ theta} + \ frac {\ partielles \ phi} {\ partielles x} \ frac {\ partielles} {\ partielles \ phi} $$
Nach viel umständlicher Algebra erhalten Sie die richtige Form.
Kommentare
- Ja, dies ist die Stufe I ‚ m at. Aber ich kann ‚ keine vernünftige Antwort bekommen!
- Welcher Teil geht schief?
- Ich bekomme $ \ frac {\ teilweise} { \ partielle x} = \ frac {1} {sin (\ theta) cos (\ phi)} \ frac {\ partielle} {\ partielle r} + \ frac {1} {cos (\ theta) cos (\ phi) } \ frac {\ partiell} {\ partiell \ theta} – \ frac {1} {sin (\ theta) sin (\ phi)} \ frac {\ partiell} {\ partiell \ phi} $!
- Und wie werden dann die Hutvektoren ersetzt?
- Sie sollten $ r, \ theta, \ phi $ nur in $ x, y, z $
ausdrücken
Antwort
Es folgt aus der allgemeinen Definition des Gradienten als $$ \ langle \ nabla f (p) | v \ rangle = d_pf ( v) = \ sum_i \ left. \ frac {\ partielle f} {\ partielle x ^ i} \ rechts | _pdx ^ i (v) $$ wobei p ein Punkt im Raum und va Vektor im Tangentenraum ist. Die Summierung erfolgt über die Basisvektoren des Tangentenraums. Sie können versuchen, diesen Ausdruck zu erweitern, um das Endergebnis für die Komponente $ i $ $$ (\ nabla f) _i = \ frac {1} {h_i} \ frac {\ partielle f} {\ partielle x ^ i} $ zu erhalten $ Dies ist die nützlichste Formel. Die Größe $ h_i $ ist der Modul des $ i $ -ten Tangentenvektors.
Beispiel: Sie möchten den Gradienten in sphärischen Koordinaten berechnen. Die Basis des Tangentenraums ist $ \ {\ frac {\ partiell} {\ partiell r}, \ frac {\ partiell} {\ partiell \ theta}, \ frac {\ partiell} {\ partiell \ phi} \} $ . Da $$ \ begin {split} \ left \ | \ frac {\ teilweise} {\ partielle \ theta} \ rechts \ | ^ 2 & = \ left \ | \ frac {\ partielles x} {\ partielles \ Theta} \ frac {\ partielles} {\ partielles x} + \ frac {\ partielles y} {\ partielles \ Theta} \ frac {\ partielles} {\ partielles y} + \ frac {\ partielles z} {\ partielles \ theta} \ frac {\ partielles} {\ partielles z} \ rechts \ | ^ 2 \\ & = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ cos ^ 2 \ phi \ underbrace {\ left \ | \ frac {\ partiell} {\ partiell x} \ rechts \ | ^ 2} _ {= 1} + r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ sin ^ 2 \ phi \ underbrace {\ left \ | \ frac {\ partiell} {\ partiell y} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} + r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ underbrace {\ links \ | \ frac {\ partiell} {\ partiell z} \ rechts \ | ^ 2} _ {= 1} \\ & = r ^ 2 \ end {split} $ $ So erhalten wir $$ h_ \ theta = \ left \ | \ frac {\ partiell} {\ partiell \ theta} \ rechts \ | = r $$ Im gleichen Sinne können Sie berechnen, dass $$ h_r = 1 \ quad \ Text {und} \ quad h_ \ phi = r \ sin \ theta $$ gibt uns den Gradienten in sphärischen Koordinaten $$ \ nabla f = \ frac {\ partiell f} {\ partiell r} \ hat e_r + \ frac {1} {r} \ frac {\ partielles f} {\ partielles \ theta} \ hat e_ \ theta + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partielles f} {\ partielles \ phi} \ hat e_ \ phi $$
Beweis für den ersten Schritt
Erweitern Sie den Vektor $ | \ nabla f \ rangle $ in Bezug auf Basisvektoren $$ | \ nabla f \ rangle = \ sum_i (\ nabla f) _i | e_i \ rangle = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} | \ frac {\ partiell} {\ partielle x ^ i} \ rangle $$ Hier kommt im Grunde der Faktor $ h_i $ her. Nehmen Sie nun $ v = | \ frac {\ teilweise} {\ partielle x ^ k} \ rangle $ und fügen Sie es in den ersten oben angegebenen Ausdruck ein. Beachten Sie, dass wir durch Definition eines Doppelvektors $ dx ^ i (| \ frac {\ partiell} {\ partiell x ^ k} \ rangle) = \ delta_k ^ i $ erhalten. Die linke Seite ist $$ \ begin {split} \ langle f | \ frac {\ partiell} {\ partiell x ^ k} \ rangle & = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} \ langle \ frac {\ partiell} {\ partiell x ^ i} | \ frac {\ partiell} {\ partiell x ^ k} \ rangle \\ & = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} h_i ^ 2 \ delta_ {ik} \\ & = (\ nabla f ) _kh_k \ end {split} $$ Whreas die rechte Seite $$ \ sum_i \ left. \ frac {\ partielle f} {\ partielle x ^ i} \ rechts | _pdx ^ i \ left (| \ frac {\ partiell} {\ partiell x ^ k} \ rangle \ right) = \ sum_i \ left. \ frac {\ partiell f} {\ partiell x ^ i} \ rechts | _p \ delta ^ i_k = \ frac {\ partiell f} {\ partielle x ^ k} $$ Durch Vergleichen beider Ausdrücke erhalten Sie die Behauptung.
Kommentare
- Großartige Antwort, viel besser als meine. Ich ‚ bin mir jedoch nicht sicher, ob der Fragesteller mit dieser Abstraktionsebene vertraut ist (Tangentenraum könnte beispielsweise ein unbekanntes Konzept sein).
- Gute Antwort Ich habe ‚ bereits über diese Methode gelesen, aber Sie ‚ haben es einfacher gemacht und ich verstehe fast alles. Ich habe das tatsächlich durchgearbeitet, als ich sphärische Einheitsvektoren abgeleitet habe. Nur eines: Wie kommen Sie von der allgemeinen Definition oben zu Ihrem zweiten Ausdruck? Woher kommt dieses $ h $?
- Und warum ist $ h _ {\ theta} = || \ frac {\ partiell} {\ partiell \ theta} || $?
- Ich habe gerade einen Beweis für den ersten hinzugefügt Schritt. $ h_ \ theta = \ left \ | \ frac {\ partiell} {\ partiell \ theta} \ rechts \ | $ per Definition ‚ ist einfach der Modul des Tangentenvektors $ \ frac {\ partiell} {\ partiell \ theta} $
- @Stan Ich verfolge einen GR-Kurs und kann ‚ Folgendes nicht verstehen Teil der Lösung: Soweit ich bisher zu verstehen scheine, erhält Ihre zweite Formel diesen Faktor von $ \ frac {1} {h} $ aufgrund eines Faktors von $ \ frac {1} {h ^ 2} $ zuerst von der Metrik und einem Faktor von h danach, um von Tangentenvektoren zu einer orthonormalen Basis zu wechseln. Der Modul des Tangentenvektors wird immer positiv sein, nicht wahr? Dann hätte eine andere orthonormale Basis gefunden werden können, bei der $ \ phi $ so ist, dass die Theta-Komponente der Divergenz $ \ frac {1} {r \, | \ sin \ theta |} $ lautet. Wie kann ich überprüfen, ob das so
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