Forståelse av spredningsforhold
On februar 14, 2021 by adminJeg prøver å forstå den fysiske betydningen av spredningsforholdet. Er det hvor inhomogent et medium er? Eller hvor mye de elektromagnetiske feltene spres i media? Eller?
Svar
spredningsforholdet uttrykker forholdet mellom bølgevektoren $ k $ og frekvensen $ \ omega $. Dispersjonsrelasjonen har form av en funksjonell relasjon for $ \ omega (k) $ som generelt ikke er lineær. Siden $ \ omega / k $ i utgangspunktet er til (fase) hastigheten til bølgen, beskriver spredningsforholdet avhengigheten av fasehastigheten til bølgelengden.
Det mest kjente eksemplet er spredning av lys ved et prisme:
Even hvis prismen er laget av homogent glass, vil indeksen for brytning av glass variere med $ k $, noe som fører til spredning.
I mekaniske bølger – som på en streng eller i luften – er forholdet $ \ omega / k = $ konstant bare en førsteordens tilnærming (faktisk en lineær tilnærming i betydningen at den tilknyttede bølgelikningen er en lineær PDE) og den virkelige spredningsforholdet er mer komplisert. For eksempel er frekvensen til en bølge på en streng realistisk relatert til bølgevektoren av $$ \ omega ^ 2 = \ frac {T_0} {\ rho_0} k ^ 2 + \ alpha k ^ 4 + \ ldots \ tag { 1} $$ hvor $ T_0 $ er spenningen i strengen og $ \ rho_0 $ er strengens lineære tetthet. Koeffisienten $ \ alpha $ ville være $ 0 $ hvis strengen var perfekt elastisk. Likning (1) er skrevet for å antyde at det er starten på en Taylor-utvidelse i $ k ^ 2 $.
Således, for å svare spesifikt på spørsmålet om OP: dispersjon måler ikke mangelen på homogenitet til et medium, men heller mangel på enkel linearitet mellom $ \ omega $ og $ k $. Det er spesielt viktig når bølgen ikke er monokromatisk, da all bølgelengde vil forplante seg med litt forskjellige frekvenser, selv om mediet er fysisk homogent.
Siden energien i kvantefysikk er relatert til $ \ hbar \ omega $, fanger spredningsforholdet noen viktige fysiske trekk ved problemet. For eksempel er dispersjonsforholdet til Klein-Gordon-ligningen bare (i enheter med $ \ hbar $ og $ c = 1 $) $$ \ omega ^ 2 = k ^ 2 + m ^ 2 $$ som bare konverterer til velkjent relativistisk ligning $ E ^ 2 = p ^ 2 + m ^ 2 $.
Kommentarer
- Dispersjonsforholdet til KdV-ligningen inneholder amplituden til bølgen (faktisk forholdet mellom den og vanndypet). At ' er ikke-lineariteten, ikke termen $ k ^ 3 $. Det er rett og slett en mer nøyaktig fremstilling av LINEAR-spredning.
- @NickP Jeg redigerte ved se likning (7) av whoi.edu/fileserver.do? id = 136524 & pt = 10 & p = 85713
- Det ' er alltid en god ide å stole på Grimshaw 🙂 Han artikulerer nøyaktig hva jeg ' sier.
Svar
Et spredningsforhold forteller deg hvordan frekvensen $ \ omega $ til en bølge avhenger av bølgelengden $ \ lambda $ – den er imidlertid matematisk bedre å bruke den omvendte bølgelengden, eller bølgetall $ k = 2 \ pi / \ lambda $ når du skriver ligninger fordi fasehastigheten er
$ v _ {\ rm phase} \ \ = \ omega / k $
og gruppehastigheten er
$ v _ {\ rm group} \ \ = d \ omega / dk $.
Disse gjelder for alle typer bølger. Angående elektromagnetiske bølger i vakuum:
$ \ omega (k) = ck $
slik at
$ v _ {\ rm phase} \ \ = v_ { \ rm-gruppe} \ \ = c $.
Bølgene er spredningsfrie. I et medium, til og med et homogent medium, for eksempel glass, øker brytningsindeksen med frekvens (i det synlige, selvfølgelig) slik at lyset blir spredt etter farge.
Legg igjen en kommentar