Hvordan får jeg derivatet av en normalfordeling med parametrene?
On februar 13, 2021 by adminVi beregner normalt derivatet av normal tetthet med parametere, gjennomsnitt og varians. Men kan vi beregne derivatet av normalfordeling med parametrene (ikke variabelen, jeg vet at den deriverte wrt til variabelen gir tettheten)? Hvis ja, hvordan beregner vi det?
Svar
Bare bruk kjedelegelen for differensiering . CDF $ F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) $ av en $ N (\ mu, \ sigma ^ 2) $ tilfeldig variabel $ X $ er $ \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) $ og så $$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) = \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ frac {-1} {\ sigma} = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ right] $$ hvor $ \ phi (x) $ er standard normal tetthet og mengden i hakeparenteser til høyre for uttrykket ovenfor kan gjenkjennes som tettheten på $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ 2) $.
Jeg lar beregningen av derivat med hensyn til $ \ sigma $ eller $ \ sigma ^ 2 $ for at du skal trene selv.
Kommentarer
- @indumann Jeg har ingen ide om hvorfor du vil bruke " normale tabeller " for å finne den numeriske verdien til derivatet $ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu } { \ sigma} \ right) \ right] $ siden derivatet har en kjent enkel formel. Ja, eldre bøker med tabeller som Abramowitz og Stegun har tabeller over verdiene til normal tetthetsfunksjon, men i disse dager, med " vitenskapelig " kalkulatorer er så lett tilgjengelige for ikke å nevne R og MATLAB og Python og Excel og …, det er enkelt å evakuere derivatet.
- Jeg lurer på hva downvoter fant så kritikkverdig om svaret mitt.
Svar
Det er en enkel beregning. Husk at en integral (som er kumulativ sannsynlighetsfunksjon) er i utgangspunktet en sum. Så, et derivat av en sum er det samme som en sum av derivater. Derfor differensierer du ganske enkelt funksjonen (dvs. tetthet) under integralet, og integrerer. Dette var min bastardiserte versjon av grunnleggende teorem for kalkulus, at noen ikke likte her.
Slik gjør du det med normal sannsynlighet. For det første er den generelle relasjonen for sannsynlighetsfunksjonen $ F (x; \ mu, \ sigma) $ og tettheten $ f (x; \ mu, \ sigma) $ der gjennomsnittet og standardavviket er parametrene: $$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} \ int _ {- \ infty} ^ xf (x; \ mu, \ sigma ) dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} f (x; \ mu, \ sigma) dx $$
Du brukte faktisk en mer generell form for denne manipulasjonen kalt Leibnitz-regelen da du nevnte at differensieringen av sannsynlighetsfunksjonen av variabelen selv (dvs. $ \ frac {\ partial} {\ delvis x} $) vil gi deg tettheten (PDF).
Deretter plugger du tettheten: $$ = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ partial} {\ partial \ mu } \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {2 ( x- \ mu)} {\ sigma ^ 2} \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx $$
Endring av variabler $ \ xi = \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2} $: $$ = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma } \ left (- \ int_0 ^ \ infty e ^ {- \ xi} d \ xi + \ int_ {0} ^ {\ xi (x)} e ^ {- \ xi} d \ xi \ right) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} \ left (-1- (e ^ {- \ xi (x)} – 1) \ høyre) $$ $$ = – \ frac {e ^ {- \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2}}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} $$
Derfor har du følgende: $$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = – f (x ; \ mu, \ sigma) $$
Du kan ha et lignende triks med variansen.
Kommentarer
- @dilipsarwate Takk. Det betyr at jeg må slå opp de normale tabellene for å få en verdi. Rett?
- Dessverre er det generelt ikke sant at " -derivatet av en sum er det samme som en sum av [derivatene. "
- Dessverre mangler det endelige resultatet et negativt tegn (det vises riktig i formelen ovenfor). Men resultatet er feil på en annen måte også. På dette tidspunktet skal jeg nedstemme dette svaret i påvente av feilretting, og kanskje en omskrivning av første avsnitt.
- Nei, fortsatt feil. Feilen starter rett etter at du har sagt " Deretter plugger du tettheten " og forplanter seg derfra.
Legg igjen en kommentar