Hvorfor antar vi at Dirac spinor $ \ Psi $ beskriver partikkelen, ikke feltet?
On februar 13, 2021 by adminDet er et kjent faktum at Klein-Gordon skalar $ \ Psi (x) $, $$ (\ partial ^ {2} + m ^ 2) \ Psi (x) = 0 $$ samt 4-vektor $ A _ {\ mu} (x) $, $$ (\ partial ^ {2} + m ^ {2}) A _ {\ mu} = 0, \ quad \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0, $$ (og til og med funksjon av et vilkårlig heltallssnurr) beskriver feltet: for det første er det ikke en positiv definisjonsnorm (med Lorentz invariant fullspace-integral ) for denne funksjonen, og for det andre er de gratis løsningene representert i en form av uavhengige harmoniske oscillatorer, som for tilfeller av klassisk elektromagnetisk felt. Så vi antar naturlig nok kommuteringsrelasjoner for amplitudeoperatører av disse feltene.
La oss så ha Dirac-ligningen og tilhørende funksjon (generelt – la oss se funksjonen til vilkårlig halvtallssnurr). La oss også anta at vi ikke vet at det beskriver noe partikkel. Vi kan bygge positiv bestemt norm (med Lorentz invariant fullspace integral), og løsningen for felt ser også ut som harmonisk osci llator. Men for positiv energi må vi anta antikommutasjonsforhold.
Så spørsmålet: hvorfor antar vi at Dirac spinor $ \ Psi $ (eller generelt, tensorer av en vilkårlig spinn) bare beskriver partikkel, ikke feltet? Etter min mening etterlater det faktum om positiv bestemt norm muligheten for beskrivelsen av feltet av denne spinoren (ikke partikkelen).
Spørsmålet mitt handler ikke om formell definisjon av disse funksjonene. Selvfølgelig er alle relativistiske felt. Men de beskriver forskjellige fysiske objekter i klassisk grense – felt og partikler tilsvarende. Maxwell-funksjonen $ A _ {\ mu} $ beskriver EM-feltet selv i klassisk grense, men Dirac-spinoren $ \ Psi $ beskriver elektronet bare i kvantesaken (når QM postulerer arbeid).
Kommentarer
- Korriger meg hvis jeg tar feil, men er ikke Dirac spinor $ \ Psi (\ mathbf x, t) $ en feltfunksjon definert på romtidskoordinater? Denne funksjonen gir ikke sannsynlighet for posisjon av partikkler eller partikler i den klassiske betydningen av ordet (som i Born ‘ s tolkning av Schroedinger ‘ s ikke-relativistiske ligning). I kvantefeltteori er det et abstrakt operatorfelt.
- @J á nLalinsk ý: kommentaren din er veldig nyttig. Jeg tror at svaret på det følger. Ja, i henhold til definisjonen av det relativistiske feltet som funksjon som bestemte på minkowskian-rommet, er din første påstand sann. Men spørsmålet mitt handler om hvilket fysisk objekt denne funksjonen beskriver, ikke om funksjonens matematiske status. Når det gjelder de neste utsagnene, kan vi anta frie felt, så vi trenger ikke ‘ t engang å kvantifisere felt, og antar ikke kvantefeltteorien (fungerer bare med relativistisk QM).
- Jeg tror to rammer er blandet i spørsmålet ditt, både KG og Dirac-løsningene ble først brukt som en utvidelse av det første kvantiseringsrammeverket, og begge beskriver partikler / sannsynlighetsbølger i dette rammeverket: bosoner for KG og fermioner for Dirac. Andre kvantisering er et annet matematisk rammeverk / syn som gjør løsningene til skapelses- og utslettelsesoperatorer. Det fungerer ved beregning av tverrsnitt osv., Men er ikke spesielt nyttig for å visualisere / montere » partikler-inn / partikler-ut «. Vi har en tendens til å holde rammen for første kvantisering ved å beskrive spesifikke interaksjoner.
- » Men spørsmålet mitt handler om hvilket fysisk objekt denne funksjonen beskriver, ikke om funksjonens matematiske status. » Det er et veldig godt spørsmål! Kanskje det vil hjelpe hvis du kan legge det til det originale spørsmålet. Jeg ‘ er også nysgjerrig på svar.
Svar
I QFT vil Dirac spinor også bli forfremmet til et felt der oscillasjonsmoduskoeffisientene er skapings- og tilintetgjøringsoperatorer.
MEN: For Dirac spinor er det mulig å godt- definere sannsynlighetstetthet og strøm:
$$ \ rho ^ \ mu \ propto \ bar \ psi \ gamma ^ \ mu \ psi $$
Denne nåværende nullkomponenten er positiv bestemt og ved å bruke Dirac-ligningen kan man vise at den er konservert, dvs. $ \ partial_ \ mu \ rho ^ \ mu \ equiv 0 $.
Derfor, i tillegg til å bli tolket som et kvantefelt, er Dirac spinor kan tolkes som en partikkelbølgefunksjon i vanlig QM.
La meg imidlertid minne deg om, at energi-egenverdiene til Dirac-operatøren ikke er begrenset nedenfra. Dette er ikke så problematisk, hvis man er enig i konseptet med Dirac-havet av elektroner som allerede opptar alle negative e nergy stater.Mens konstruksjonen av Dirac-sjøen er veldig håndsvinkende, gir den en nøkkel prediksjon: partikkel-antipartikkel-paroppretting fra «ren energi» (dvs. et foton).
Kommentarer
- » … Dirac-spinoren kan tolkes som en partikkelbølgefunksjon i vanlig QM … «, – men kan det tolkes som feltbølgefunksjon i vanlig QM, som $ A _ {\ mu} $?
- Jeg er ikke sikker på hva du mener med » feltbølgefunksjon » i vanlig QM. Enten har du en kvantefeltteori (som ikke er vanlig QM) eller så har du kvantepartikler og klassiske felt (der det ikke er noe konsept som en » feltbølgefunksjon «).
- @Neuneck Formelen for $ \ rho ^ \ mu $ er den for KG-feltet! Den for Dirac-feltet involverer $ \ gamma ^ \ mu $ matrikser! Vennligst korrigér. Faktisk er situasjonen veldig lik den for kompleks KG-ligning. I så fall begrenses energi nedenfor mens den konserverte ladningen ikke er positiv (med et klart tegn). Men hvis vi bare vurderer løsninger som er superposisjon av positive frekvensmodi, er ladningen positiv og energien er begrenset nedenfor. For Dirac-ligning, med bare positive frekvensløsninger, er både energi og ladning positive (med et klart tegn).
- Takk, jeg korrigerte. For KG-feltet er ingen fysisk grunn til å bare se på de positive frekvensmodusene tilgjengelig i vanlig QM. For Dirac-ligningen – som vi har å gjøre med fermioner – når de negative energitilstandene er okkupert, er det ingen måte en partikkel kan redusere energien ved å råtne ned i en hver lavere liggende modus. For bosoner eksisterer ikke denne eksklusjonen.
- Så, forstår jeg riktig: Dirac-ligning utenfor QFT kan beskrive en partikkel, mens Klein-Gordon-ligningen ikke kan på grunn av det udefinerte tegnet på » norm » av løsningene? (Jeg er ikke OP)
Legg igjen en kommentar