Hvorfor er eksentrisitetsvektorligningen alltid lik -1?
On februar 13, 2021 by adminDette er eksentrisitetsvektorligningen, $$ e = \ frac {1} {\ mu} [( v ^ 2 – {\ mu \ over r}) r- (r \ cdot v) v] $$ $$ e = | e | $$ Nå er denne ligningen skrevet annerledes enn mange forskjellige kilder, men de betyr egentlig det samme. Jeg prøvde denne ligningen, og uansett hvilke verdier jeg ga variablene, er svaret alltid -1 (eller 1 absolutt). Jeg forstår at eksentrisiteten til en parabel er 1, men denne ligningen er også for ellipser. Så hvorfor er svaret alltid -1? Har jeg gått glipp av noe? Takk på forhånd.
Kommentarer
Svar
Uttrykket til høyre er ment å gi eksentrisiteten vektor men vektornotasjonen har gått tapt.
Her er det i dette svaret :
$$ e = {v ^ 2 r \ over {\ mu}} – {(r \ cdot v) v \ over {\ mu}} – {r \ over {\ left | r \ right |}} $$
og vektornaturen er heller ikke klar. Vi bør skrive det som
$$ \ mathbf {e} = {v ^ 2 \ mathbf {r} \ over {\ mu}} – {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}} – {\ mathbf {r} \ over {r}} $$
der fet skrift representerer vektorer og $ v = | \ mathbf {v} | $ og $ r = | \ mathbf { r} | $ , eller som
$$ \ mathbf {e} = {| \ mathbf {v} | ^ 2 \ mathbf {r } \ over {\ mu}} – {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}} – {\ mathbf {r} \ over {\ left | \ mathbf {r} \ right |}} $$
I uttrykket $ (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} $ begrepet $ \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v} $ er et vektorpunktprodukt, og returnerer en skalar , som deretter multipliserer vektoren $ \ mathbf {v} $ .
Her er en rask beregning for å bekrefte det. Jeg valgte $ \ mu = 1 $ og $ a = 1 $ slik at omløpsperioden er $ 2 \ pi $ . Du kan se at eksentrisitetsvektoren x komponenten er +0,8 og konstant, og y-komponenten er 0,0 Det bekrefter at eksentrisitetsvektoren alltid peker mot retningen til periapsis og dens størrelse er alltid lik den skalære eksentrisiteten, som i dette tilfellet er 0,8
Python-skript:
def deriv(X, t): x, v = X.reshape(2, -1) acc = -x * ((x**2).sum())**-1.5 return np.hstack((v, acc)) import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import odeint as ODEint halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)] e = 0.8 peri = 1. - e apo = 1. + e vperi = np.sqrt(2./peri - 1.) # vis-viva equation X0 = np.array([peri, 0] + [0, vperi]) times = np.linspace(0, twopi, 201) answer, info = ODEint(deriv, X0, times, full_output=True) r, v = answer.T.reshape(2, 2, -1) vsq = (v**2).sum(axis=0) rabs = np.sqrt((r**2).sum(axis=0)) evec = vsq*r - (r*v).sum(axis=0) * v - r/rabs if True: x, y = r plt.figure() plt.subplot(2, 1, 1) plt.plot(x, y) plt.plot([0], [0], "oy", markersize=16) # the Sun plt.xlim(-2, 0.5) plt.ylim(-1.25, 1.25) plt.subplot(4, 1, 3) plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("x, y", fontsize=16) plt.subplot(4, 1, 4) x, y = evec plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("evec_x, evec_y", fontsize=16) plt.show()
Kommentarer
- Kommentarer er ikke for utvidet diskusjon. Denne samtalen har vært flyttet for å chatte .
- @uhoh Bare for å klargjøre, vil vektorpunktproduktet alltid være 0 i en sirkelbane rett? Fordi vinkelen mellom hvor hastigheten min tar meg og radiusen er alltid 90 grader. Og i en elliptisk bane er vektorpunktproduktet 0 ved apoapsis og periapsis.
- @StarMan yep det ' er sant. For en sirkulær bane, eller for hvilken som helst periapsis og apoapsis av en ellipse, $ \ mathbf {v} \ cdot \ ma thbf {r} $ vil være null. Som en rask sjekk: for en sirkel med $ e = 0 $, hvis den andre termen til høyre er null, har du $ 0 = v ^ 2 r / mu – 1 $ som gir $ v ^ 2 = mu / r $ som er vis-viva-ligning for en sirkelbane der $ r = a $.
+1
for et virkelig godt spørsmål! Jeg ' skriver et svar nå, skal ta omtrent 20 minutter …