Komplekse impedanser (Norsk)
On februar 16, 2021 by adminHva betyr det å ha en kompleks impedans?
For eksempel impedansen til en kondensator (i Laplace-domenet ?) er gitt av 1 / sC (tror jeg) som tilsvarer \ $ \ dfrac {1} {j \ cdot 2 \ pi \ cdot f \ cdot C} \ $ der transienter blir neglisjert. Hva betyr det for impedansen å være imaginær?
Jeg er for øyeblikket i 2. året mitt med elektroteknikk ved universitetet, så hvis mulig, vil jeg sette pris på et matematisk gyldig og grundig svar hvis det er ikke for mye trøbbel, med referanse til studiemateriell (nett- og papirressurser) ideelt.
Takk på forhånd.
Kommentarer
- Aren ‘ t studerer du nøyaktig dette i kursene dine? Du har sikkert en lærebok eller to som går grundig inn i dette. Dette er et veldig bredt tema som er vanskelig å svare uten et mer spesifikt spørsmål.
- En ekstra ressurs
- Lærebøkene jeg har ser ut til å anta at dette er allerede kjent fra tidligere kurs (og vi lærte ikke ‘). På toppen av dette blandet foreleserne mine ordren slik at vi ‘ kommer sannsynligvis til å bli undervist i det senere, men ikke før vi trenger det.
- Det virker at couse la mange emner urørt, og det ‘ er veldig upraktisk for et ingeniørkurs …
Svar
TL; DR Den imaginære delen av impedensen forteller deg den reaktive komponent av impedansen; dette er (blant andre) ansvarlig for forskjellen i fase mellom strøm og spenning og den reaktive effekten som brukes av kretsen.
Det underliggende prinsippet er at ethvert periodisk signal kan behandles som summen av (noen ganger) uendelige senebølger kalt harmoniske, med like fordelte frekvenser. Hver av dem kan behandles separat, som et eget signal.
For disse signalene bruker du en representasjon som er som: $$ v (t) = V_ {0} \ cos (2 \ pi ft + \ phi) = \ Re \ {V_ {0} e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi} \} $$
Og du kan se at vi allerede hoppet i domenet til komplekse tall, fordi du kan bruke en kompleks eksponensiell til å representere rotasjon.
Så impedans kan være aktiv (motstand) eller reaktiv (reaktans); mens den første per definisjon ikke påvirker fasen av signaler (\ $ \ phi \ $), gjør reaktansen, så bruk av komplekse tall er mulig å evaluere variasjonen i fasen som blir introdusert av reaktansen.
Så du får: $$ V = I \ cdot Z = I \ cdot | Z | \ cdot e ^ {j \ theta} $$
der | Z | er impedansens størrelse , gitt av: $$ | Z | = \ sqrt {R ^ 2 + X ^ 2} $$
og theta er fasen introdusert av impedansen, og er gitt av: $$ \ theta = \ arctan \ left (\ frac {X} {R} \ right) $$
Når den brukes på forrige funksjon, blir den: $$ v (t) = \ Re \ {I_ {0} | Z | e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi + \ theta} \} = I_ {0} | Z | \ cos (2 \ pi ft + \ phi + \ theta) $$
La oss vurdere den ideelle kondensatoren: impedansen vil være \ $ \ frac {1} {j \ omega C} = – \ frac {j} {\ omega C} \ $ som er imaginær og negativ; hvis du legg den inn i den trigonometriske omkretsen, du får en fase på -90 °, noe som betyr at med en ren kapasitiv belastning vil spenningen være 90 ° bak strømmen.
Så w hy?
La oss si at du vil oppsummere to impedanser, 100 Ohm og 50 + i50 Ohm (eller, uten komplekse tall, \ $ 70,7 \ vinkel 45 ^ \ circ \ $). Så med komplekse tall summerer du den virkelige og imaginære delen og får 150 + i50 Ohm.
Uten å bruke komplekse tall er saken ganske mer komplisert, ettersom du enten kan bruke cosinus og sines (men det er det samme ved å bruke komplekse tall da) eller komme i et rot av størrelsesorden og faser. Det er opp til deg :).
Teori
Noen ytterligere forestillinger, prøver å adressere spørsmål:
- Den harmoniske representasjonen av signaler adresseres vanligvis av Fourier-serier nedbrytning:
$$ v (t) = \ sum _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {jnt}, \ text {hvor} c_ {n} = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} v (t) e ^ {- jnt} \, dt $$
- Den komplekse eksponentielle er relatert til cosinus også av Eulers formel :
$$ cos (x) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {-ix}} {2} $$
Kommentarer
- Tusen takk for svaret ditt. Når det gjelder v (t) ligning, bare for å avklare, mener du v (t) = v0 cos (2pi f0 t + phi) + v1 cos (2pi f1 t + phi) + … + vn cos (2pi fn t + phi) (siden signalet kan representeres som et mulig uendelig tall av sinusoider med forskjellige frekvenser)? Deretter avleder du termen R (V0 exp (j2pift + phi)) fra cos (x) = 0,5 exp (ix) + 0,5 exp (-ix)? Hvis dette er tilfelle, hvor går termen 0.5 exp (-2pift …)?I Ohm ‘ s lovligning evalueres antagelig V (t) til et reelt uttrykk, men exp (j omega) gjør ikke ‘ t, så hvordan fungerer dette? Takk igjen.
- MMH mange spørsmål :). Om den første, ikke akkurat: sjekk Fourier-serierepresentasjonen, men i teorien er også andre spaltning mulig; om det eksponentielle, ja, det ‘ er Eulero-ekvivalensen. Det samme gjelder for det siste spørsmålet: Den komplekse eksponentielle gir rotasjonen, men så tok den ‘ bare den virkelige delen.
- Wow at ‘ en rask respons! Hvorfor er bare den virkelige delen tatt? ‘ t virker matematisk gyldig. Takk igjen.
- Er det det jeg ‘ mangler? » Aexp (i omega) … forstås som en forkortelsesnotasjon som koder for amplituden og fasen til en underliggende sinus. » fra en.wikipedia.org/wiki/Phasor#Definition . Er ideen om at den komplekse tallrepresentasjonen er forkortelse for representasjonen av en vinkel (fase) og en størrelse?
- @JonaGik ja, det ‘ er en praktisk representasjon av sinusformede signaler, som også wiki-siden sier. Jeg vil si at hvert matematisk objekt er en stenografi for å representere eller løse et reelt problem …
Svar
Jeg er sikker på at dette ikke vil svare helt på spørsmålet ditt, faktisk håper jeg dette vil utfylle svarene som allerede er gitt som ser ut til å forsømmes: konseptet bak bruken av komplekse tall (som, som allerede sagt, bare er et fancy navn for en type matematisk «mengde», hvis du vil).
Det første hovedspørsmålet her vi skal svare på er hvorfor de komplekse tallene. Og for å svare på dette spørsmålet, må vi forstå behovet til de forskjellige settene med tall, fra det naturlige til det virkelige tallet. i et marked. Deretter ble heltallene introdusert for å adressere «i gjeld» -konseptet ved hjelp av negative tall (dette var et vanskelig konsept å forstå på den tiden). Nå blir ting mer interessante med de rasjonelle tallene og behovet for å representere «mengder» med brøker. Det interessante med disse tallene er at vi trenger to heltall, og ikke bare ett (som med naturlige og heltall), for eksempel 3/8. Denne måten å representere «mengder» på er veldig nyttig, for eksempel for å beskrive antall skiver (3) som er igjen i en 8 skiver kake, da 5 allerede var spist 🙂 (du kunne ikke gjøre dette med et helt tall!).
La oss nå hoppe over de irrasjonelle og de reelle tallene og gå til de komplekse tallene. Elektronikkingeniører møtte utfordringen med å beskrive og betjene en annen type «mengde», sinusformet spenning (og strøm) i en lineær krets (dvs. laget av motstander, kondensatorer og induktorer). Gjett hva, de fant ut at komplekse tall var løsningen.
Ingeniører visste at sinusoider var representert av 3 komponenter, det vil si A (amplitude), \ $ \ omega \ $ (vinkelfrekvens) og fase (\ $ \ phi \ $): $$ y (t) = A \ cdot sin (\ omega t + \ phi) $$
De innså også at i en lineær krets vinkelfrekvensen (\ $ \ omega \ $) ville ikke endres fra node til node, det vil si uansett hvilket punkt i kretsen du prøvde, du ville bare se forskjeller når det gjelder amplitude og fase, ikke frekvens. De konkluderte da med at den interessante (varierende) delen av en sinusformet spenning (eller strøm) var dens amplitude og fase. Så akkurat som vi gjør med rasjonelle tall, trenger vi to tall for å representere den varierende sinusformede spenningen i en lineær kretsnode, i dette tilfellet (A, phi). De skjønte faktisk at komplekse tall algebra, det vil si måten du opererer på og knytter disse tallene til hverandre, passer som en hanske med måten sinusoider drives av lineære kretser.
Så når du sier at impedansen til en kondensator er \ $ \ frac {1} {j \ omega C} \ $ ie, (A = 1 / C, phi = -90º) i ovennevnte antatte notasjon, du sier faktisk at spenningen er forsinket 90º angående den nåværende fasen. Og vær så snill, glem den «transcendentale» nomenklaturen om imaginær og kompleks … faktisk snakker vi om «mengder» med to ortogonale komponenter (dvs. «som ikke blandes uansett hvor hardt du rister dem i en cocktailkopp «), akkurat som vektorer, som representerer to forskjellige fysiske aspekter av fenomenene.
OPPDATERING
Det er også noen notater jeg anbefaler på det sterkeste å lese, «En introduksjon til kompleks analyse for ingeniører» av Michael D. Alder. Dette er en veldig vennlig tilnærming til emnet. Spesielt anbefaler jeg det første kapittelet .
Svar
Å bruke komplekse tall er en matematisk måte å representere både i fase og ut av fasekomponenter – strømmen mht. spenningen. Imaginær impedans betyr ikke at impedansen ikke eksisterer, det betyr at strømmen og spenningen er ute av fase med hverandre. Tilsvarende betyr ikke en reell impedans virkelig i hverdagslig forstand, bare at strømmen er i fase med spenningen.
Kommentarer
- Jeg forstår disse ideene konseptuelt, jeg lurte bare på hvordan en kompleks impedens faktisk fungerer – hva er den matematiske grunnen til at den er kompleks og hvordan er den avledet?
- @JonaGik hvor manglet svaret mitt? Jeg trodde det svarte denne matematiske grunnen …
- Er dette riktig? Er ideen om at den komplekse tallrepresentasjonen er stenografi for representasjonen av en vinkel (fase) og en størrelse? Så når vi tolker en kompleks impedens, anser vi den å bare representere faseforsinkelsen og størrelsen?
Svar
-
Beskrivelsene under SØK for å demyteologisere hva som menes med «komplekse» mengder i en RCL-kontekst. Konseptene «imaginære» komponenter er en nyttig metafor som har en tendens til å blinde mennesker for den enkle underliggende rea lities. Teksten nedenfor snakker i RC-termer og berører ikke mysteriene til LC som faktisk ikke er mer mystiske i virkeligheten.
-
Det ville være en større fordel for deg å gjøre ditt ytterste for å adressere de fleste poengene som ble reist selv ved hjelp av enten en tekstbok eller en søkemotor på internett før du søkte forklaringer fra andre FOR dette spørsmålet er så veldig grunnleggende for det grunnleggende om vekselstrømskretser med reaktive komponenter. Å takle vanskelige spørsmål setter en forrang for hvordan du vil håndtere lignende ting gjennom hele utdanningen din, og internett har sannsynligvis millioner av sider som omhandler dette emnet (Gargoyle sier ~ = 11 millioner, men hvem kan fortelle?). Graden av detaljering og grundighet du ber om er urealistisk fra et nettsted som dette gitt den enorme mengden detaljer «der ute». (Med mindre nettstedseierne prøver å replikere et delsett av Wikipedia).
Så – jeg vet at det er en god ide å hjelpe deg med å få hodet rundt det grunnleggende, slik at du kan hente det og løpe med det derfra. Så …
Hvis du kobler en inngangsterminal til en seriemotstand til en kondensator og den andre kondensatoren er «jordet», får du en serie RC-krets:
Vin – motstand – kondensator – jord.
Hvis du nå bruker en trinnspenning på inngangen, vil kondensatorstrømmen passe, men kondensatoren begynner å lade med denne spenningen for å produsere strøm i motstanden. Spenningsøkningen vil være eksponentiell fordi strømmen som strømmer inn i kondensatoren vil bli belastet av Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / Rseries. dvs. når Vcap stiger, faller potensialet over motstanden og strømmen avtar. I teorien vil det ta uendelig lang tid for Vcap å nå Vin, men i praksis er det mer eller mindre «der i omtrent 3 tidskonstanter der
t = RC = tiden det tar for Iin å falle til 1 / e th av sin startverdi. Hva og hvorfor av 1 / e-begrepet du allerede vet eller vil gjøre etter å ha lest referansene.
NÅ, hvis vi bruker et firkantbølgesignal, vil kondensatoren lade som ovenfor når inngangen er positiv og vil utlades på en lignende eksponentiell måte når inngangen er jordet eller negativ. Mens kondensatorstrømmen vil følge Vin og vil være maksimal når Vin overgår høyt / lavt eller lavt høyt, vil kondensatorens spenning av årsakene beskrevet ovenfor ligge Når du har oppnådd stabil tilstand, vil du finne to bølgeformer forskjøvet med opptil nesten 90 grader eller så lite som nesten grader der en hel inngangssyklus = 360 grader. henger etter strømmen avhenger av inngangsfrekvensen og RC ti meg konstant.
For uinnvidde kan dette se ut som magi (eller bruk av tiotimolin *), med en strømbølgeform som oppstår opp til 1/4 av en syklus før spenningen, MEN dette er bare fordi den logiske årsaken til dette, som forklart ovenfor, er ikke nødvendigvis intuitivt åpenbar ved inspeksjon.
Hvis du begynner å kamme kondensatorer og motstander og induktorer på forskjellige måter, må du være i stand til å håndtere matematiske med de relative fasene til de forskjellige bølgeformene. [Ved første introduksjon kan det virke som om fasene er satt til å bedøve].
Noen kompetente figurer, eller et snikt blikk på noen av de 10 millioner websidene om emnet, vil indikere at der du har to bølgeformer som varierer i faseforhold skipet til hverandre og som er basert på et gjensidig eksponensielt forhold, så kan hver bølgeform representeres av en polær representasjon av formen [R, Theta] som i termen kan representeres som et komplekst tall som har X- og Y-komponenter som gjenspeiler polarformen.
Polar «vektoren» som representerer spenningen og strømforholdet i en gitt situasjon bruker en roterende vektorarm «metafor» som gir lengden på armen og fasevinkelen i forhold til en referanse. Denne “metaforen” kan erstattes av en X- og Y-komponent der størrelsen på polarformen er gitt av R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) og hvis vinkel theta er gitt av tan ^ -1 (X / Y ). Dette kan sees i skjematisk form nedenfor.
ADVARSEL – la deg ikke lure av terminologien.
Merk at begrepet «komplekst nummer» bare er sjargong. Bruk av sqrt (-1) er en nyttig del av metaforen som gjør at regningen kan fungere MEN de faktiske mengdene som er involvert er helt reelle og «vanlige». Når reaktive elementer som induktorer og kondensatorer brukes, vil kraft ikke lenger bare være produktet av størrelsesbetingelsene i spennings- og strømvektorer, dvs. kraften fra V.sin (fred) x I.sin (Josepine) betyr ikke (vanligvis) = VI. Dette innebærer ikke noe spesielt eller magisk eller komplekst eller tenkt på de involverte variablene – det er bare at de er tidsvarianter og deres toppstørrelser vanligvis ikke vil falle sammen.
Ekstra lesing – anbefales på det sterkeste:
- I Asimov.
Kommentarer
- @Kortuk – Det store flertallet av de ovennevnte hadde blitt skrevet før til min første skriftlig svar, men jeg la ikke ut på det stadiet, men det kan ha blitt lagt til etterhvert når det ble bedre sjekket. Som du vet, legger jeg ofte til store mengder materiale til innledende innlegg. I hans tilfelle var gulrot- og pinnetilnærmingen din (uten gulrot) ganske demotiverende, men det virker synd å la feildirigerte motivasjonsstiler oppnå sine mest normale effekter. Noen reagerer godt nok på milde mansjetter rundt øret, men ikke de fleste har jeg funnet ‘. Noen her er uenige :-).
Svar
Å uttrykke kapasitans og induktans som imaginære motstander har fordelen at du kan bruke velkjente metoder for å løse lineære problemer med motstander for å løse lineære problemer med motstander, kondensatorer og induktorer.
Slike lineære problemer og deres velkjente metoder er for eksempel
- Problem: beregning av motstanden til to motstander i serie
Metode: R = R1 + R2
kan også brukes til å beregne impedansen til motstand / kondensator / induktor i serie med en annen motstand / kondensator / induktor -
Problem: beregning av motstanden til to motstander parallelt
Metode: R = R1 * R1 / (R1 + R2)
kan også brukes til å beregne impedansen til motstand / kondensator / induktor i parallelt med en annen motstand / kondensator / induktor -
Problem: løse et nettverk som inneholder motstander, likestrømsspenning og likestrømskilder
Metode: løse et system av lineære ligninger
kan også brukes til å løse et nettverk som inneholder motstander, kondensatorer, induktorer, AC- eller DC-spenning og AC- eller DC-strømkilder - etc.
Alle de formlene / metodene som fungerer med reelle motstandsverdier (bare motstandere) og likestrømskilder fungerer like bra med komplekse verdier (motstander, induktorer, kondensatorer) og vekselstrømskilder.
Svar
Selv om det ikke nødvendigvis er noen intuitiv grunn til at bruk av komplekse tall for å representere en kombinasjon av in-fase og ut-av-fase signaler, bør det være nyttig viser seg at de aritmetiske reglene for komplekse tall passer veldig fint med den faktiske oppførselen og samspillet mellom motstander, kondensatorer og induktorer.
Et komplekst tall er summen av to deler: den virkelige delen og en «imaginær «del, som kan representeres av et reelt tall multiplisert med i , som er definert til å være kvadratroten på -1. Et komplekst tall kan skrives i form A + Bi , hvor både A og B er reelle tall. Man kan da bruke reglene for polynomiell aritmetikk for å handle på komplekse tall ved å behandle i som en variabel, men man kan også erstatte i ² med -1 (så f.eks. er produktet av Pi × Qi -P × Q).
Ved en hvilken som helst spesiell frekvens kan man bestemme hvordan et nettverk av motstander, induktorer og kondensatorer vil oppføre seg ved å beregne den effektive impedansen til hvert element og deretter bruke Ohms lov å beregne den effektive motstanden til serier og parallelle kombinasjoner, og spenningene og strømene gjennom dem.Videre, fordi motstander, kondensatorer og induktorer alle er lineære enheter, kan man beregne hvordan nettverket vil oppføre seg når kombinasjoner av frekvenser injiseres ved å beregne hva de vil gjøre med hver spesielle frekvens og deretter legge sammen resultatene. Kompleks aritmetikk kan være veldig nyttig når du prøver å analysere oppførselen til ting som filtre, siden det gjør at man kan beregne filterets utgang som en funksjon av inngangen. Matet et inngangssignal på et reelt tall v volt ved en eller annen frekvens f , man kan beregne spenningen eller strømmen ved en hvilken som helst bestemt node; den virkelige delen vil være i fase med den injiserte bølgeformen, og den imaginære delen vil være 90 grader utenfor fasen. I stedet for å måtte bruke fancy differensialligninger for å løse kretsoppførselen, kan man relativt grunnleggende aritmetikk med komplekse tall.
Svar
Komplekse tall brukes i elektroteknikk for mengder som har en størrelse og en fase. Elektrisk impedans er forholdet mellom strøm og spenning. For vekselstrøm og spenning er det mulig at strøm- og spenningsbølgeformene ikke er i fase; fasen av impedansen forteller deg denne faseforskjellen.
Kommentarer
- Hvorfor nedstemningen?
Legg igjen en kommentar