Opprinnelse til konjugerte variabler i fysiske teorier
On februar 16, 2021 by adminHvorfor kommer konjugerte variabler i par? I klassisk mekanikk har vi for eksempel de generelle koordinatene for posisjon og momentum, og det er Jacobis handlingsvinkelkoordinater. I de grunnleggende termodynamiske ligningene vises alle relevante størrelser i par, dvs. volum og trykk, entropi og temperatur, partikkelnummer og kjemisk potensial. Sikkert kan det føres et dimensjonalt argument for hvorfor vi vil ha disse parene (slik at de gir enheter av energi, osv …), men jeg ser etter et konseptuelt argument for hvorfor konjugerte variabler kommer i par.
Jeg beklager hvis dette spørsmålet ikke er positivt.
Kommentarer
- Kanskje relatert til spørsmålet ditt er Onsager gjensidige relasjoner mellom generaliserte strømninger og krefter som faktisk kan utledes fra første prinsipper.
- Relatert: physics.stackexchange.com/q/18280/2451
Svar
Dette kan være det beste svaret ed ved å vurdere dine tidligere eksempler (posisjon og momentum) og de sistnevnte eksemplene (volum og trykk osv.) separat. Se dette spørsmålet for hvorfor jeg vurderer disse hver for seg.
Det første settet med eksempler (fra Hamilton-mekanikken) har røtter i Pontryagin dualiteter . Beviset på dette konseptet er litt detaljert, men det koker i det vesentlige til å prøve å finne forholdene der $ \ mathcal {F} (\ mathcal {F} (f)) $ tilsvarer $ f $ i noen forstand. Når det skjer, gjelder dette for alle kompakte abeliske grupper. Og når det skjer, er posisjonen Pontryagin-momentumet, og omvendt.
Det andre eksemplet (fra termodynamikk) dukker opp når vi ser på likevektsfordelinger i termodynamikken. I så fall er det ikke noe «spesielt» med de variablene som kommer i par. Tenk for eksempel på den indre energilikningen for et kanonisk ensemble, som relaterer det til entropi (S), volum (V), temperatur (T) og trykk (p):
$$ \ mathrm {d } U = T \, \ mathrm {d} Sp \, \ mathrm {d} V $$ Du kan se at temperatur og trykk bare er «konstantene av proporsjonalitet» av endringer i entropi og volum i denne ligningen. Når det gjelder hvorfor endringer i temperaturdrift endrer seg i entropi (varmeoverføring), er det på grunn av den andre loven om termodynamikk som søker å øke entropien til systemet pluss badet. Når systemet blir drevet litt bort fra likevekt, for eksempel ved å øke $ T $ av badet med en veldig liten mengde, byttes en viss mengde entropi ut og systemet balanserer igjen.
Det er en annen type av forholdet mellom temperatur og varme, si og posisjon / momentum. Mens generalisert momentum og posisjon er relatert av gjensidige differensiallikninger, gjelder ikke det samme for temperatur og varme.
Legg igjen en kommentar