Utledning av endring av variabler for en sannsynlighetstetthetsfunksjon?
On februar 9, 2021 by adminI boken mønstergjenkjenning og maskinlæring (formel 1.27) gir det
$$ p_y (y) = p_x (x) \ venstre | \ frac {d x} {d y} \ right | = p_x (g (y)) | g «(y) | $$ hvor $ x = g (y) $, $ p_x (x) $ er pdf som tilsvarer $ p_y (y) $ med hensyn til endring av variabelen.
Bøkene sier at det er fordi observasjoner som faller i området $ (x, x + \ delta x) $, for små verdier på $ \ delta x $, vil bli transformert til området $ (y, y + \ delta y) $.
Hvordan er dette formelt avledet?
Oppdatering fra Dilip Sarwate
Resultatet gjelder bare hvis $ g $ er en strengt monoton økende eller reduserende funksjon.
Noen mindre redigering av LV Raos svar $$ \ begin {ligning} P (Y \ le y) = P (g (X) \ le y) = \ begynn {tilfeller} P (X \ le g ^ {- 1} (y)) , & \ text {if} \ g \ text {øker monotont} \\ P (X \ ge g ^ {- 1} (y)), & \ text {if} \ g \ text {er monotont synkende} \ end {cases} \ end {equation} $$ Derfor hvis $ g $ øker monotont $$ F_ {Y} (y) = F_ {X} (g ^ {- 1} (y)) $$ $$ f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) $$ hvis monotont synkende $$ F_ {Y} (y) = 1-F_ {X} (g ^ {- 1} (y)) $$ $$ f_ { Y} (y) = – f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) $$ $$ \ derfor f_ {Y } (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ left | \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ right | $$
Kommentarer
- Resultatet gjelder bare hvis $ g $ er en strengt monoton økende eller reduserende funksjon. Tegn en graf på $ g $ og puslespillet ut ved hjelp grunnleggende ideen bak definisjonen av derivatet (ikke den formelle definisjonen med epsilon og delta). Det er også et svar fra @whuber på dette nettstedet som staver ut detaljene ; dette vil si at dette skal lukkes som et duplikat.
- Boken din ' s forklaring minner om den jeg tilbød på stats.stackexchange.com/a/14490/919 . Jeg la også ut en generell algebraisk metode på stats.stackexchange.com/a/101298/919 og en geometrisk forklaring på stats.stackexchange.com/a/4223/919 .
- @DilipSarwate takk for forklaringen, jeg tror jeg forstår intuisjonen, men jeg ' er mer interessert i hvordan det kan utledes ved hjelp av eksisterende regler og teoremer 🙂
Svar
Anta at $ X $ er en kontinuerlig tilfeldig variabel med pdf
f (x). Hvis vi definerer $ Y = g (X) $, hvor g () er en monotone funksjon, oppnås pdf
av $ Y $ som følger: \ begin {eqnarray *} P (Y \ le y) & = & P (g (X) \ le y) \\ & = & P (X \ le g ^ {- 1} (y)) \\ eller \; \; F_ {Y} (y) & = & F_ {X} (g ^ {- 1} (y)), \ quad \ mbox {ved definisjonen av CDF} \\ \ end {eqnarray *} Ved å skille CDF-ene på begge sider wrt $ y $, vi får pdf på $ Y $. Funksjonen g () kan enten være monotont økende eller monotont synkende. Hvis funksjonen g () øker monotont, blir pdf på $ Y $ gitt av \ begin {ligning *} f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ end {ligning *} og hvis den er monotont synkende, blir pdf på $ Y $ gitt ved \ begin {ligning *} f_ {Y} (y) = – f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ end {ligning *} over to ligninger kan kombineres til en enkelt ligning: \ begin {ligning *} \ derfor f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot | \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) | \ end {ligning *}
Kommentarer
- Men da integralen over fx må summe til 1 og fy er en skalert versjon av fx, betyr ikke ' t som betyr fy er ikke en skikkelig pdf, med mindre jacobian i magen () er 1 eller -1?
- @Chris The Jacobian of $ g ^ {-1} $ er ikke nødvendigvis en konstant funksjon, så det kan være > 1 noen steder og < 1 på andre.
- Jeg mener ovennevnte avledning er feil. Når $ g (.) $ Synker monotont, innebærer $ g (X) \ le y \ X \ ge g ^ {- 1} (y) $. Minustegnet vises ikke magisk.
- Minustegnet kommer fra det faktum at ulikheten er byttet for monotont reduserende transformasjoner
Legg igjen en kommentar