Afleiding van verandering van variabelen van een kansdichtheidsfunctie?
Geplaatst op februari 9, 2021 door adminIn het boek patroonherkenning en machine learning (formule 1.27) geeft het
$$ p_y (y) = p_x (x) \ links | \ frac {d x} {d y} \ right | = p_x (g (y)) | g “(y) | $$ waarbij $ x = g (y) $, $ p_x (x) $ de pdf is die overeenkomt met $ p_y (y) $ met betrekking tot de verandering van de variabele.
De boeken zeggen dat het komt omdat waarnemingen die in het bereik $ (x, x + \ delta x) $ vallen, voor kleine waarden van $ \ delta x $ worden omgezet in het bereik $ (y, y + \ delta y) $.
Hoe wordt dit formeel afgeleid?
Update van Dilip Sarwate
Het resultaat is alleen geldig als $ g $ een strikt monotone stijgende of dalende functie is.
Enkele kleine wijzigingen aan LV Raos antwoord $$ \ begin {vergelijking} P (Y \ le y) = P (g (X) \ le y) = \ begin {gevallen} P (X \ le g ^ {- 1} (y)) , & \ text {if} \ g \ text {neemt monotoon toe} \\ P (X \ ge g ^ {- 1} (y)), & \ text {if} \ g \ text {neemt monotoon af} \ end {cases} \ end {vergelijking} $$ Dus als $ g $ monotoon toeneemt $$ F_ {Y} (y) = F_ {X} (g ^ {- 1} (y)) $$ $$ f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) $$ indien monotoon afnemend $$ F_ {Y} (y) = 1-F_ {X} (g ^ {- 1} (y)) $$ $$ f_ { Y} (y) = – f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) $$ $$ \ daarom f_ {Y } (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ left | \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ right | $$
Reacties
- Het resultaat is alleen geldig als $ g $ een strikt monotone stijgende of dalende functie is. Teken een grafiek van $ g $ en puzzel het uit met de basisidee achter de definitie van de afgeleide (niet de formele definitie met epsilon en delta). Ook is er een antwoord van @whuber op deze site die de details beschrijftdat wil zeggen, dit moet worden gesloten als een duplicaat.
- De uitleg van uw boek ' doet denken aan degene die ik aanbood op stats.stackexchange.com/a/14490/919 . Ik heb ook een algemene algebraïsche methode gepost op stats.stackexchange.com/a/101298/919 en een geometrische uitleg op stats.stackexchange.com/a/4223/919 .
- @DilipSarwate bedankt voor je uitleg, ik denk dat ik de intuïtie begrijp, maar ik ' m meer geïnteresseerd in hoe het kan worden afgeleid met behulp van de bestaande regels en stellingen 🙂
Answer
Stel dat $ X $ een continue willekeurige variabele is met pdf
f (x). Als we $ Y = g (X) $ definiëren, waarbij g () een monotone functie is, dan wordt de pdf
van $ Y $ als volgt verkregen: \ begin {eqnarray *} P (Y \ le y) & = & P (g (X) \ le y) \\ & = & P (X \ le g ^ {- 1} (y)) \\ of \; \; F_ {Y} (y) & = & F_ {X} (g ^ {- 1} (y)), \ quad \ mbox {volgens de definitie van CDF} \\ \ end {eqnarray *} Door de CDFs aan beide kanten te differentiëren tov $ y $, we krijgen de pdf van $ Y $. De functie g () kan ofwel monotoon toenemend of monotoon afnemend zijn. Als de functie g () monotoon toeneemt, dan wordt de pdf van $ Y $ gegeven door \ begin {vergelijking *} f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ end {vergelijking *} en anderzijds, als het monotoon afneemt, dan wordt de pdf van $ Y $ gegeven door \ begin {vergelijking *} f_ {Y} (y) = – f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ end {vergelijking *} De bovenstaande twee vergelijkingen kunnen worden gecombineerd tot één vergelijking: \ begin {vergelijking *} \ daarom f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot | \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) | \ end {equation *}
Reacties
- Maar aangezien de integraal over fx moet optellen tot 1 en fy een geschaalde versie is van fx, doet ' t dat gemiddelde fy geen goede pdf is, tenzij de jacobian in de abs () 1 of -1 is?
- @Chris The Jacobian van $ g ^ {-1} $ is niet noodzakelijk een constante functie, dus het kan op sommige plaatsen > 1 zijn en op andere < 1.
- Ik denk dat de bovenstaande afleiding onjuist is. Wanneer $ g (.) $ Monotoon afneemt, betekent $ g (X) \ le y \ X \ ge g ^ {- 1} (y) $. Het minteken verschijnt niet magisch.
- Het minteken komt van het feit dat de ongelijkheid wordt omgeschakeld voor monotoon afnemende transformaties
Geef een reactie