Complexe impedanties
Geplaatst op februari 16, 2021 door adminWat betekent het om een complexe impedantie te hebben?
Bijvoorbeeld, de impedantie van een condensator (in het Laplace-domein ?) wordt gegeven door 1 / sC (geloof ik) wat gelijk staat aan \ $ \ dfrac {1} {j \ cdot 2 \ pi \ cdot f \ cdot C} \ $ waar transiënten worden genegeerd. Wat betekent het dat de impedantie denkbeeldig is?
Ik “zit momenteel in mijn 2e jaar elektrotechniek aan de universiteit, dus ik zou, indien mogelijk” een wiskundig valide en grondige reactie op prijs stellen als het niet al te veel moeite, met de referentie van studiemateriaal (web en papieren bronnen) ideaal.
Bij voorbaat dank.
Opmerkingen
- Ben je ‘ Bestudeer je dit niet precies in je cursussen? Je hebt vast al een paar studieboeken die hier uitvoerig op ingaan. Dit is een heel breed onderwerp dat moeilijk is om te beantwoorden zonder een meer specifieke vraag.
- Een aanvullende bron
- De studieboeken die ik heb, lijken aan te nemen dat dit al bekend van eerdere cursussen (en we waren ‘ t hebben dit geleerd). Bovendien hebben mijn docenten hun volgorde door elkaar gehaald, zodat we ‘ we zullen het waarschijnlijk later leren, maar niet voordat we het nodig hebben.
- Het lijkt erop dat uw baas veel onderwerpen onaangeroerd heeft gelaten, en het ‘ is erg lastig voor een technische cursus …
Antwoord
TL; DR Het denkbeeldige deel van de impedantie vertelt je de reactieve component van de impedantie; dit is (onder andere) verantwoordelijk voor het verschil in fase tussen stroom en spanning en het blindvermogen dat door het circuit wordt gebruikt.
Het onderliggende principe is dat elk periodiek signaal kan worden behandeld als de som van (soms) oneindige sinusgolven die harmonischen worden genoemd, met gelijke frequenties. Elk van hen kan afzonderlijk worden behandeld, als een eigen signaal.
Voor deze signalen gebruikt u een weergave die lijkt op: $$ v (t) = V_ {0} \ cos (2 \ pi ft + \ phi) = \ Re \ {V_ {0} e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi} \} $$
En je kunt zien dat we al in het domein van complexe getallen, omdat je een complexe exponentiële waarde kunt gebruiken om rotatie weer te geven.
Dus impedantie kan actief (weerstand) of reactief (reactantie) zijn; terwijl de eerste per definitie de fase van signalen (\ $ \ phi \ $) niet beïnvloedt, doet de reactantie dat wel, dus het gebruik van complexe getallen is mogelijk om de variatie in de fase die wordt geïntroduceerd door de reactantie te evalueren.
Dus je krijgt: $$ V = I \ cdot Z = I \ cdot | Z | \ cdot e ^ {j \ theta} $$
waarbij | Z | de grootte van de impedantie is , gegeven door: $$ | Z | = \ sqrt {R ^ 2 + X ^ 2} $$
en theta is de fase geïntroduceerd door de impedantie, en wordt gegeven door: $$ \ theta = \ arctan \ left (\ frac {X} {R} \ right) $$
Wanneer toegepast op de vorige functie, wordt het: $$ v (t) = \ Re \ {I_ {0} | Z | e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi + \ theta} \} = I_ {0} | Z | \ cos (2 \ pi ft + \ phi + \ theta) $$
Laten we eens kijken naar de ideale condensator: de impedantie is \ $ \ frac {1} {j \ omega C} = – \ frac {j} {\ omega C} \ $ wat denkbeeldig en negatief is; als je zet het in de trigonometrische omtrek, je krijgt een fase van -90 °, wat betekent dat bij een puur capacitieve belasting de spanning 90 ° achter de stroom zal zijn.
Dus w hy?
Laten we zeggen dat je twee impedanties wilt optellen, 100 Ohm en 50 + i50 Ohm (of, zonder complexe getallen, \ $ 70,7 \ hoek 45 ^ \ circ \ $). Met complexe getallen tel je het reële en imaginaire deel op en verkrijg je 150 + i50 Ohm.
Zonder complexe getallen te gebruiken, is het een stuk ingewikkelder, omdat je cosinus en sinussen kunt gebruiken (maar het is hetzelfde als het gebruik van complexe getallen dan) of kom in een puinhoop van grootheden en fasen. Het is aan jou :).
Theorie
Enkele aanvullende begrippen, in een poging je vragen:
- De weergave van harmonischen van signalen wordt meestal behandeld door Fourier-reeks decompositie:
$$ v (t) = \ sum _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {jnt}, \ text {where} c_ {n} = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} v (t) e ^ {- jnt} \, dt $$
- De complexe exponentiële factor is ook gerelateerd aan de cosinus door de Euler “s formule :
$$ cos (x) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {-ix}} {2} $$
Reacties
- Heel erg bedankt voor je reactie. Wat betreft je v (t) -vergelijking, alleen om verduidelijk, bedoel je v (t) = v0 cos (2pi f0 t + phi) + v1 cos (2pi f1 t + phi) + … + vn cos (2pi fn t + phi) (aangezien het signaal kan worden weergegeven als een mogelijk oneindig getal van sinusoïden met verschillende frequenties)? Leid je dan de R (V0 exp (j2pift + phi)) term af van cos (x) = 0,5 exp (ix) + 0,5 exp (-ix)? Als dit het geval is, waar gaat de term 0,5 exp (-2pift …) dan heen?Ook in uw Ohm ‘ s wet-vergelijking, evalueert V (t) vermoedelijk naar een echte uitdrukking, maar exp (j omega) niet ‘ t, dus hoe werkt dit? Nogmaals bedankt.
- MMH veel vragen :). Over de eerste, niet precies: controleer de weergave van de Fourier-reeks, maar in theorie zijn ook andere decomposities mogelijk; over het exponentiële, ja, het is ‘ s de Eulero-equivalentie. Hetzelfde geldt voor de laatste vraag: het complexe exponentieel geeft de rotatie, maar dan ‘ heeft alleen het reële deel genomen.
- Wauw dat ‘ is een snelle reactie! Waarom wordt alleen het echte deel genomen? Dat lijkt wiskundig niet ‘ t. Nogmaals bedankt.
- Is dit wat ik ‘ m mis? ” Aexp (i omega) … wordt opgevat als een verkorte notatie die de amplitude en fase van een onderliggende sinusoïde codeert. ” van en.wikipedia.org/wiki/Phasor#Definition . Is het idee dat de representatie van complexe getallen een afkorting is voor de weergave van een hoek (fase) en een magnitude?
- @JonaGik ja, het ‘ is een handige weergave van sinusvormige signalen, zoals ook de wikipagina zegt. Ik zou zeggen dat elk wiskundig object een afkorting is om een echt probleem weer te geven of op te lossen …
Answer
Ik ben er zeker van dat dit uw vraag niet helemaal zal beantwoorden, ik hoop in feite dat dit een aanvulling zal zijn op de reeds gegeven antwoorden die lijken te negeren: het concept achter het gebruik van complexe getallen (wat, zoals gezegd, slechts een mooie naam is voor een type wiskundige “hoeveelheid”, zo u wilt).
De eerste hoofdvraag die we hier moeten beantwoorden is waarom de complexe getallen. En om deze vraag te beantwoorden, moeten we de noodzaak van de verschillende reeksen getallen begrijpen, van de natuurlijke tot de reële getallen.
Vanaf de vroege leeftijden lieten de natuurlijke getallen mensen toe om bijvoorbeeld appels en sinaasappels te tellen in een markt. Vervolgens werden de gehele getallen ingevoerd om het concept “in de schuld” aan te pakken door middel van negatieve getallen (dit was in die tijd een moeilijk concept om te begrijpen). Nu worden dingen interessanter met de rationale getallen en de noodzaak om “hoeveelheden” met breuken weer te geven. Het interessante aan deze getallen is dat we twee gehele getallen nodig hebben, en niet slechts één (zoals bij de natuurlijke en gehele getallen), bijvoorbeeld 3/8. Deze manier om “hoeveelheden” weer te geven is erg handig, bijvoorbeeld om het aantal plakjes (3) dat overblijft in een 8 plakjes taart te beschrijven, terwijl er al 5 waren gegeten 🙂 (je kon dit niet doen met een geheel getal!).
Laten we nu over de irrationele en de reële getallen springen en naar de complexe getallen gaan. Elektronica-ingenieurs stonden voor de uitdaging om een ander type “grootheid”, de sinusvormige spanning (en stroom) in een lineair circuit (d.w.z. gemaakt van weerstanden, condensatoren en inductoren) te beschrijven en te gebruiken. Raad eens, ze ontdekten dat complexe getallen de oplossing waren.
Ingenieurs wisten dat sinusoïden werden vertegenwoordigd door 3 componenten, dat wil zeggen A (amplitude), \ $ \ omega \ $ (hoekfrequentie) en fase (\ $ \ phi \ $): $$ y (t) = A \ cdot sin (\ omega t + \ phi) $$
Ze realiseerden zich ook dat in een lineaire schakeling de hoekfrequentie (\ $ \ omega \ $) zou niet veranderen van knooppunt naar knooppunt, dat wil zeggen, ongeacht welk punt in het circuit je aan het aftasten was, je zou alleen verschillen zien in termen van amplitude en fase, niet in frequentie. Ze concludeerden toen dat het interessante (wisselende) deel van een sinusvormige spanning (of stroom) de amplitude en fase was. Dus, net als bij de rationale getallen, hebben we twee getallen nodig om de variërende sinusvormige spanning in een lineair circuitknooppunt weer te geven, in dit geval (A, phi). In feite realiseerden ze zich dat algebra met complexe getallen, dat wil zeggen de manier waarop je deze getallen bedient en aan elkaar relateert, als een handschoen past bij de manier waarop sinusoïden worden bediend door lineaire circuits.
Dus als je zegt dat de impedantie van een condensator is \ $ \ frac {1} {j \ omega C} \ $ dwz (A = 1 / C, phi = -90º) in de hierboven aangenomen notatie, je zegt eigenlijk dat de spanning 90º vertraagd is met betrekking tot de huidige fase. En vergeet alsjeblieft die transcendentale nomenclatuur over denkbeeldig en complex … in feite hebben we het over hoeveelheden met twee orthogonale componenten (dat wil zeggen: die worden niet gemengd, hoe hard je ze ook schudt in een cocktailbeker “), net als vectoren, die twee verschillende fysieke aspecten van de verschijnselen vertegenwoordigen.
UPDATE
Er zijn ook enkele opmerkingen die ik ten zeerste aanbeveel om te lezen, “An Introduction to Complex Analysis for Engineers” door Michael D. Alder. Dit is een zeer vriendelijke benadering van het onderwerp. In het bijzonder beveel ik het eerste hoofdstuk aan .
Antwoord
Het gebruik van complexe getallen is een wiskundige manier om zowel in fase als uit fase componenten weer te geven – de huidige met betrekking tot de spanning. Denkbeeldige impedantie betekent niet dat de impedantie niet bestaat, het betekent dat de stroom en spanning niet met elkaar in fase zijn. Evenzo betekent een echte impedantie niet echt in de alledaagse betekenis, alleen dat de stroom in fase is met de spanning.
Opmerkingen
- Ik begrijp het conceptueel, vroeg ik me af hoe een complexe belemmering eigenlijk werkt – wat is de wiskundige reden waarom het complex is en hoe wordt het afgeleid?
- @JonaGik waar ontbrak mijn antwoord? Ik dacht dat het antwoord was deze wiskundige reden …
- Klopt dit? Is het idee dat de representatie van complexe getallen een afkorting is voor de weergave van een hoek (fase) en een magnitude? Dus als we een complexe impedantie interpreteren, beschouwen we die om gewoon de fasevertraging en de omvang weer te geven?
Antwoord
-
De beschrijvingen hieronder ZOEKEN om te ontmythologiseren wat wordt bedoeld met complexe hoeveelheden in een RCL-context. De concepten van denkbeeldige componenten zijn een nuttige metafoor die mensen blind maakt voor de simpele lities. De onderstaande tekst spreekt in RC-termen en heeft geen betrekking op de mysteries van LC die in feite niet meer mysterieus zijn in werkelijkheid.
-
Het zou voor u van groter nut zijn om uw uiterste best te doen om de meeste van de punten die naar voren zijn gebracht zelf aan te pakken met behulp van een tekstboek of een internetzoekmachine voordat u uitleg van anderen zoekt, OMDAT deze vraag is zo fundamenteel voor de basis van wisselstroomcircuits met reactieve componenten. Omgaan met moeilijke vragen geeft voorrang aan hoe je tijdens je opleiding met soortgelijke dingen omgaat en het internet heeft waarschijnlijk miljoenen paginas die over dit onderwerp gaan (Gargoyle zegt ~ = 11 miljoen, maar wie kan dat vertellen?). De mate van detail en grondigheid waar je om vraagt, is onrealistisch van een site als deze, gezien de enorme hoeveelheid details “die er zijn”. (Tenzij de site-eigenaren proberen een subset van Wikipedia te repliceren).
DUS – ik begrijp dat het een goed idee is om je te helpen met de basisbeginselen, zodat je het kunt oppakken en er vanaf daar mee kunt rennen. Dus …
Als je een ingangsklem met een serieweerstand verbindt met een condensator en de andere condensator is “geaard”, krijg je een serie RC-schakeling:
Vin – weerstand – condensator – aarde.
Als u nu een stapspanning op de ingang toepast, zal de condensatorstroom stapsgewijs overeenkomen, maar de condensator zal beginnen te laden met behulp van deze spanning om stroom in de weerstand te produceren. De spanningsstijging zal exponentieel zijn omdat de stroom die in de condensator vloeit, wordt beladen door Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / R-serie. dwz als Vcap stijgt, daalt het potentiaal over de weerstand en dus neemt de stroom af. In theorie duurt het oneindig lang voordat Vcap Vin bereikt, maar in de praktijk is het min of meer “er in ongeveer 3 tijdconstanten waar
t = RC = de tijd die het nodig heeft om Iin te laten dalen tot 1 / e th van zijn beginwaarde. Het wat en waarom van de 1 / e-term weet je al of ga je doen na het lezen van de referenties.
NU, als we een blokgolfsignaal toepassen, laadt de condensator zoals hierboven op als de ingang positief is en zal op een vergelijkbare exponentiële manier ontladen wanneer de ingang geaard of negatief is. Hoewel de condensatorstroom Vin zal volgen en maximaal zal zijn wanneer Vin hoog / laag of laag hoog overgaat, zal de condensatorspanning om de hierboven beschreven redenen achterblijven bij de ingangsspanning. Zodra de stabiele toestand is bereikt, ziet u als u Vcap en I cap plot, twee golfvormen met een afwijking van bijna 90 graden of zo weinig als bijna graden waarbij een hele ingangscyclus = 360 graden. Hoe ver de condensatorspanning loopt achter op zijn huidige hangt af van de ingangsfrequentie en de RC ti me constant.
Voor niet-ingewijden lijkt dit misschien magie (of het gebruik van thiotimoline *), met een stroomgolfvorm die tot 1/4 van een cyclus voor zijn spanning optreedt, MAAR dit is alleen omdat de logische de reden hiervoor, zoals hierboven uitgelegd, is bij inspectie niet per se intuïtief duidelijk.
Als je condensatoren en weerstanden en inductoren op verschillende manieren gaat kammen, moet je wiskundig kunnen omgaan met de relatieve fasen van de verschillende golfvormen. [Bij de eerste introductie lijkt het misschien dat de fasors zijn ingesteld om te verdoven].
Een bekwaam uitzoeken, of een voorproefje van enkele van de ongeveer 10 miljoen webpaginas over het onderwerp, zal aangeven dat waar je twee golfvormen hebben die variëren in faserelatie ten opzichte van elkaar en die zijn gebaseerd op een wederzijdse exponentiële relatie, dan kan elke golfvorm worden weergegeven door een polaire weergave van de vorm [R, Theta] die op termijn kan worden weergegeven als een complex getal die X- en Y-componenten heeft die de polaire vorm weerspiegelen.
De polaire “vector” die de spanning- en stroomrelatie in een bepaalde situatie vertegenwoordigt, gebruikt een roterende vectorarm “metafoor” die de lengte van de arm en de fasehoek ten opzichte van een referentie aangeeft. Deze metafoor kan worden vervangen door een X- en Y-component waarbij de grootte van de polaire vorm wordt gegeven door R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) en waarvan de hoek theta wordt gegeven door tan ^ -1 (X / Y ). Dit is hieronder in diagramvorm te zien.
WAARSCHUWING – laat u niet misleiden door de terminologie.
Merk op dat de term “complex getal” simpelweg Jargon is. Het gebruik van sqrt (-1) is een nuttig onderdeel van de metafoor waarmee de rekenkunde kan werken MAAR de werkelijke hoeveelheden zijn volledig reëel en “gewoon”. Wanneer reactieve elementen zoals inductoren en condensatoren worden gebruikt, zal stroom niet langer eenvoudigweg het product zijn van de magnitude termen in de spannings- en stroomvectoren. dwz het vermogen van V.sin (fred) x I.sin (Josepine) is niet (meestal) = VI. Dit impliceert niets speciaals of magisch of complex of denkbeeldig over de betrokken variabelen – het is alleen dat ze tijdsvariant zijn en dat hun piekgrootten meestal niet samenvallen.
Extra lezen – sterk aanbevolen:
- Ik Asimov.
Opmerkingen
- @Kortuk – De grote meerderheid van het bovenstaande was vóór geschreven aan mijn initiaal schriftelijk antwoord, maar ik heb het op dat moment niet gepost, maar het kan te zijner tijd zijn toegevoegd als het beter is gecontroleerd. Zoals u wellicht weet, voeg ik vaak genoeg grote tranches materiaal toe aan de eerste berichten. In zijn geval was je wortel- en stokbenadering (zonder wortel) nogal demotiverend, maar het lijkt een schande om verkeerd gerichte motivatiestijlen hun meest normale effecten te laten bereiken. Sommige reageren goed genoeg op zachte manchetten rond het oor, maar de meeste niet, heb ik ‘ gevonden. Sommigen zijn het hier niet mee eens :-).
Antwoord
Capaciteit en inductie uitdrukken als denkbeeldige weerstanden heeft het voordeel dat je kan bekende methoden gebruiken om lineaire problemen met weerstanden op te lossen om lineaire problemen met weerstanden, condensatoren en inductoren op te lossen.
Dergelijke lineaire problemen en hun bekende methoden zijn bijvoorbeeld
- Probleem: het berekenen van de weerstand van twee weerstanden in serie
Methode: R = R1 + R2
kan ook worden gebruikt voor het berekenen van de impedantie van weerstand / condensator / inductor in serie met een andere weerstand / condensator / inductor -
Probleem: berekenen van de weerstand van twee parallel geschakelde weerstanden
Methode: R = R1 * R1 / (R1 + R2)
kan ook worden gebruikt voor het berekenen van de impedantie van weerstand / condensator / inductor in parallel met een andere weerstand / condensator / inductor -
Probleem: oplossen van een netwerk met weerstanden, DC-spanning en DC-stroombronnen
Methode: oplossen van een gelijktijdig systeem van lineaire vergelijkingen
kunnen ook worden gebruikt voor het oplossen van een netwerk met weerstanden, condensatoren, inductoren, AC- of DC-spanning en AC- of DC-stroombronnen - etc.
Al die formules / methoden die werken met echte weerstandswaarden (alleen resitors) en DC-bronnen werken net zo goed met complexe waarden (weerstanden, inductoren, condensatoren) en AC-bronnen.
Answer
Hoewel er niet per se een intuïtieve reden is waarom het gebruik van complexe getallen om een combinatie van in-fase en uit-fase signalen weer te geven nuttig zou zijn, blijkt dat de rekenregels voor complexe getallen heel goed passen bij het feitelijke gedrag en de interactie van weerstanden, condensatoren en inductoren.
Een complex getal is de som van twee delen: het reële deel en een denkbeeldige “deel, dat kan worden weergegeven door een reëel getal vermenigvuldigd met i , dat wordt gedefinieerd als de vierkantswortel van -1. Een complex getal kan worden geschreven in de vorm A + Bi , waarbij zowel A als B reële getallen zijn. Men kan dan de regels van polynoomrekenen gebruiken om te handelen op complexe getallen door i als een variabele te behandelen, maar men kan ook i ²
Bij elke bepaalde frequentie kan men bepalen hoe een netwerk van weerstanden, inductoren en condensatoren zich zal gedragen door de effectieve impedantie van elk item te berekenen en vervolgens de wet van Ohm te gebruiken om de effectieve weerstand van series en parallelle combinaties te berekenen, en de spanningen en stromen erdoorheen.Verder, omdat weerstanden, condensatoren en inductoren allemaal lineaire apparaten zijn, kan men berekenen hoe het netwerk zich zal gedragen wanneer combinaties van frequenties worden geïnjecteerd door te berekenen wat ze zullen doen met elke specifieke frequentie en vervolgens de resultaten bij elkaar op te tellen. Complexe rekenkunde kan erg handig zijn bij het analyseren van het gedrag van zaken als filters, aangezien het de output van het filter laat berekenen als een functie van de input. Door een ingangssignaal van een reëel getal v volt bij een bepaalde frequentie f te geven, kan men de spanning of stroom op een bepaald knooppunt berekenen; het reële deel zal in fase zijn met de geïnjecteerde golfvorm, en het imaginaire deel zal 90 graden uit fase zijn. In plaats van dure differentiaalvergelijkingen te moeten gebruiken om het circuitgedrag op te lossen, kan men relatief eenvoudig rekenen met complexe getallen.
Antwoord
Complexe getallen worden in de elektrotechniek gebruikt voor grootheden met een grootte en een fase. Elektrische impedantie is de verhouding tussen stroom en spanning. Voor AC-stromen en -spanningen zijn de stroom- en spanningsgolfvormen mogelijk niet in fase; de fase van de impedantie vertelt je dit faseverschil.
Reacties
- Waarom de down-stemming?
Geef een reactie