Hoe de afgeleide van een normale verdeling te krijgen zonder zijn parameters?
Geplaatst op februari 13, 2021 door adminNormaal gesproken berekenen we de afgeleide van de normale dichtheid zonder zijn parameters, gemiddelde en variantie. Maar kunnen we de afgeleide van de normale verdeling ten opzichte van de parameters berekenen (niet de variabele, ik weet dat de afgeleide naar de variabele de dichtheid geeft)? Zo ja, hoe berekenen we dat?
Antwoord
Pas gewoon de kettingregel toe voor differentiatie . De CDF $ F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) $ van een $ N (\ mu, \ sigma ^ 2) $ willekeurige variabele $ X $ is $ \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) $ en dus $$ \ frac {\ partieel} {\ partieel \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = \ frac {\ partieel} {\ partieel \ mu} \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) = \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ frac {-1} {\ sigma} = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ right] $$ waarbij $ \ phi (x) $ de standaard is normale dichtheid en de hoeveelheid tussen vierkante haken op de meest rechtse uitdrukking hierboven kan worden herkend als de dichtheid van $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ 2) $.
Ik laat de berekening van de afgeleide met betrekking tot $ \ sigma $ of $ \ sigma ^ 2 $ die u zelf kunt uitwerken.
Opmerkingen
- @indumann Ik heb geen idee waarom je " normale tabellen " zou willen gebruiken om de numerieke waarde van de afgeleide $ \ frac {\ partieel} {\ partieel \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu } { \ sigma} \ right) \ right] $ aangezien de afgeleide een bekende eenvoudige formule heeft. Ja, oudere boeken met tabellen zoals Abramowitz en Stegun hebben tabellen met de waarden van de normale dichtheidsfunctie, maar tegenwoordig, met " wetenschappelijk " rekenmachines zijn zo gemakkelijk beschikbaar om nog maar te zwijgen van R en MATLAB en Python en Excel en …, het evalueren van de afgeleide is eenvoudig.
- Ik vraag me af wat de downvoter zo vond aanstootgevend over mijn antwoord.
Antwoord
Het is een simpele berekening. Onthoud dat een integraal (dit is de cumulatieve waarschijnlijkheidsfunctie) is in feite een som. Dus een afgeleide van een som is hetzelfde als een som van afgeleiden. Daarom onderscheid je eenvoudig de functie (dwz dichtheid) onder de integraal, en integreer je. Dit was mijn verbasterde versie van de fundamentele stelling van de calculus, die sommigen hier niet leuk vonden.
Hier is hoe je het zou doen met de normale waarschijnlijkheid. Ten eerste, de algemene relatie voor waarschijnlijkheidsfunctie $ F (x; \ mu, \ sigma) $ en de dichtheid $ f (x; \ mu, \ sigma) $ waarbij het gemiddelde en de standaarddeviatie de parameters zijn: $$ \ frac {\ partieel} {\ partieel \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = \ frac {\ partieel} {\ partieel \ mu} \ int _ {- \ infty} ^ xf (x; \ mu, \ sigma ) dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ partiële} {\ partiële \ mu} f (x; \ mu, \ sigma) dx $$
Je hebt eigenlijk een algemenere vorm van deze manipulatie genaamd Leibnitz-regel toen je zei dat de differentiatie van de waarschijnlijkheidsfunctie door de variabele zelf (dwz $ \ frac {\ partiële} {\ gedeeltelijke x} $) geeft u de dichtheid (pdf).
Sluit vervolgens de dichtheid aan: $$ = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ partiële} {\ partiële \ mu } \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {2 ( x- \ mu)} {\ sigma ^ 2} \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx $$
Variabelen wijzigen $ \ xi = \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2} $: $$ = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma } \ left (- \ int_0 ^ \ infty e ^ {- \ xi} d \ xi + \ int_ {0} ^ {\ xi (x)} e ^ {- \ xi} d \ xi \ right) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} \ left (-1- (e ^ {- \ xi (x)} – 1) \ right) $$ $$ = – \ frac {e ^ {- \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2}}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} $$
Daarom heb je het volgende: $$ \ frac {\ partiële} {\ partiële \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = – f (x ; \ mu, \ sigma) $$
Je kunt een soortgelijke truc doen met de variantie.
Reacties
- @dilipsarwate Bedankt. Dat betekent dat ik de normale tabellen moet opzoeken om een waarde te krijgen. Oké?
- Helaas is het over het algemeen niet waar dat de " afgeleide van een som is hetzelfde als een som van [de] afgeleiden. "
- Helaas mist het eindresultaat een minteken (het verschijnt correct in de bovenstaande formule). Maar het resultaat is ook op een andere manier verkeerd. Op dit moment ga ik dit antwoord naar beneden stemmen in afwachting van correctie van de fouten, en misschien een herschrijving van de eerste alinea.
- Nee, nog steeds onjuist. De fout begint direct nadat je " hebt gezegd. Sluit vervolgens de dichtheid " aan en propageert van daaruit.
Geef een reactie