Hoe kom je erachter of een transformatie een canonieke transformatie is?

Er zijn drie eenvoudige tests om te controleren of een transformatie canoniek is. Houd er rekening mee dat sommige multiplicatieve constanten in bepaalde leerboeken kunnen verschijnen, afhankelijk van de exacte definitie van canonieke transformatie.

Notatie

Laat $ x = (p, q) $ de $ 2n $ variabelen zijn, en de getransformeerde variabelen $ \ tilde {x} (x) = (\ tilde {p} (p, q), \ tilde {q} (p, q)) $.

De methode van de symplectische Jacobiaan

Laat $ J = \ gedeeltelijke \ tilde {x} / \ gedeeltelijke x $ is de Jacobiaanse matrix van de transformatie. Laat bovendien $ \ mathbb {E} $ een $ 2n \ maal 2n $ blokmatrix $$ \ mathbb {E} = \ begin {zijn pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \ end {pmatrix} $$

Dan de transformatie is canoniek als en slechts als

$$ J \ mathbb {E} J ^ T = \ mathbb {E} $$

De methode van Poisson-haakjes

De transformatie is canoniek als en slechts als de fundamentele Poisson-haakjes behouden blijven

$$ \ {\ tilde {p} _i, \ tilde {p} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {q} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {p} _j \} = \ delta_ {ij} $$

De methode van de differentiaalvorm van Liouville

Dit is iets minder praktisch, maar ik neem het voor de volledigheid op. De transformatie is canoniek als en slechts als de differentiële vorm $ \ sum_i p_i \ mathrm {d} q_i – \ sum_i \ tilde {p} _i \ mathrm {d} \ tilde {q} _i $ is gesloten.

Reacties

• Kun je een referentie geven voor de methode van de symplectische Jacobiaan (bij voorkeur een boek)? 🙂

Hint: Poisson-haakjes zijn canonieke invarianten, dit is

$$ \ {F, G \} _ {q, p} = \ {F, G \} _ {Q, P} $$

Reacties

• dus het is voldoende om aan te tonen dat $ \ {Q, P \} _ {q, p} = 1 $?
• Ja; dit is de meer robuuste definitie van een CT. Aangezien PBs afgeleid zijn, dwz gehoorzamen aan de kettingregel, hoeft u slechts twee termen eenvoudig te berekenen om de relatie waar u naar vraagt te verifiëren.

Een andere manier (een praktische sneltoets) is om te proberen een genererende functie te vinden. In dit geval zullen we $ F_3 (Q, p) $ gebruiken aangezien $ Q $ en $ p $ meer basale variabelen lijken te zijn. De oorspronkelijke vergelijkingen zijn gelijk aan \ begin {align} P & = q \, \ cot p \ tag {1} \\ q & = e ^ {- Q} \, \ sin p. \ tag {2} \ end {align} Eq. (1) is gelijk aan \ begin {align} P = e ^ {- Q} \, \ cos p. \ tag {3} \ end {align}

Nu van verg. (2) en (3), kunnen we gemakkelijk verifiëren dat $ F_3 (Q, p) = e ^ {- Q} \ cos p $ voldoet aan \ begin {align} P = – \ frac {\ partiële F_3} {\ gedeeltelijk Q}, \ tag {4} \\ q = – \ frac {\ partiële F_3} {\ partiële p}. \ tag {5} \ end {align} Dit betekent voor de gegeven transformatie wordt gegenereerd door deze $ F_3 (Q, p) $, en is daarom canoniek.

Merk op dat de mogelijke functionele vorm van $ F_3 (Q, p) $ kan worden afgeleid uit een trial-and-error-benadering. In dit geval hebben we Eq. (4), $$ F_3 = – \ int P \, dQ = – \ int e ^ {- Q} \ cos p \, dQ = e ^ {- Q} \ cos p, $$ en vervolgens geverifieerd dat het tevreden was Eq . (5).

Het antwoord van Enucatl is voldoende. In het voorbeeld $$ P = q \ cot (p), $$ $$ Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right), $$ gegeven in de vraag, het lijkt erop dat er een niet-overeenkomende dimensie is.

Het argument in $ \ cot $ moet ongeveer $ [p / (p_o)] $ zijn, waar $ p_o $ dimensies van momentum heeft en het argument van de logaritme $ moet zijn $ q_o \ frac {\ sin (p / p “_o)} {q}, $$ $ p” _o $ hoeft niet gelijk te zijn aan $ p_o $. Zelfs als P en Q geen afmetingen van respectievelijk momentum en lengte hebben, doet het er misschien niet toe (bekend als in elk algemeen geval van een canonieke transformatie).

Ik ben benieuwd of de bewerkingen voor dimensionale matching impliciete (zoals de modieuze (wat ik niet leuk vind) manier waarop bepaalde boeken $ c = 1 $ nemen en de relativistische energie van een vrij deeltje $ E = (m ^ 2 + p ^ 2) ^ {1/2} noemen $ in plaats van $ E = (m ^ 2 c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2) ^ {1/2} $ etc.).