Oorsprong van geconjugeerde variabelen in fysische theorieën
Geplaatst op februari 16, 2021 door adminWaarom komen geconjugeerde variabelen in paren voor? In de klassieke mechanica hebben we bijvoorbeeld de gegeneraliseerde coördinaten van positie en momentum, en er zijn Jacobis actiehoekcoördinaten. Ook verschijnen in de fundamentele thermodynamische vergelijkingen alle relevante grootheden in paren, dwz volume en druk, entropie en temperatuur, deeltjesaantal en chemisch potentieel. Er kan zeker een dimensionaal argument worden gemaakt waarom we deze paren willen (zodat ze energie-eenheden geven, enz.), maar ik ben op zoek naar een conceptueel argument waarom variabelen worden geconjugeerd komen in paren.
Het spijt me als deze vraag slecht gesteld is.
Reacties
- Misschien zijn ze gerelateerd aan je vraag de Onsager wederkerige relaties tussen gegeneraliseerde fluxen en krachten die feitelijk kunnen worden afgeleid uit eerste principes.
- Gerelateerd: physics.stackexchange.com/q/18280/2451
Antwoord
Dit is misschien het beste antwoord door uw vroegere voorbeelden (positie en momentum) en uw laatste voorbeelden (volume en druk, enz.) afzonderlijk te beschouwen. Zie deze vraag om te zien waarom ik deze afzonderlijk beschouw.
De eerste reeks voorbeelden (voorbeelden uit Hamiltoniaanse mechanica) vindt zijn oorsprong in Pontryagin dualiteiten . Het bewijs van dit concept is een beetje gedetailleerd, maar het komt in wezen neer op het zoeken naar de voorwaarden waaronder $ \ mathcal {F} (\ mathcal {F} (f)) $ in zekere zin gelijk is aan $ f $. Dit geldt namelijk voor alle compacte abelse groepen. En ook, zoals het gebeurt, is positie de Pontryagin-duaal van momentum, en omgekeerd.
De tweede reeks voorbeelden (uit de thermodynamica) komt naar voren als we kijken naar evenwichtsverdelingen in de thermodynamica. In dat geval is er niets “speciaals” aan die variabelen die in paren komen. Beschouw bijvoorbeeld de interne energievergelijking voor een canoniek ensemble, waarbij u deze relateert aan entropie (S), volume (V), temperatuur (T) en druk (p):
$$ \ mathrm {d } U = T \, \ mathrm {d} Sp \, \ mathrm {d} V $$ Je kunt zien dat temperatuur en druk slechts de “evenredigheidsconstanten” zijn van veranderingen in entropie en volume in deze vergelijking. Wat betreft de reden waarom veranderingen in temperatuuraandrijving veranderingen in entropie (warmteoverdracht) hebben, is dit vanwege de tweede wet van de thermodynamica die de entropie van het systeem plus het bad probeert te vergroten. Wanneer het systeem enigszins uit evenwicht wordt gedreven, bijvoorbeeld door $ T $ van het bad met een zeer kleine hoeveelheid te verhogen, wordt een bepaalde hoeveelheid entropie uitgewisseld en komt het systeem weer in evenwicht.
Er is een ander soort van de relatie tussen temperatuur en warmte, zeg maar, en positie / momentum. Hoewel gegeneraliseerd momentum en positie aan elkaar gerelateerd zijn door wederkerige differentiaalvergelijkingen, geldt hetzelfde niet voor temperatuur en warmte.
Geef een reactie