Waarom gaan we ervan uit dat Dirac-spinor $ \ Psi $ het deeltje beschrijft, niet het veld?
Geplaatst op februari 13, 2021 door adminHet is een bekend feit dat Klein-Gordon scalair $ \ Psi (x) $, $$ (\ gedeeltelijke ^ {2} + m ^ 2) \ Psi (x) = 0 $$ en 4-vector $ A _ {\ mu} (x) $, $$ (\ gedeeltelijke ^ {2} + m ^ {2}) A _ {\ mu} = 0, \ quad \ partiële _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0, $$ (en zelfs de functie van een willekeurige spin van een geheel getal) beschrijven het veld: ten eerste is er geen positieve definitieve norm (met Lorentz-invariante volledige ruimte-integraal ) voor deze functies, en de tweede, de vrije oplossingen worden weergegeven in een vorm van onafhankelijke harmonische oscillatoren, zoals in het geval van een klassiek elektromagnetisch veld. We gaan dus natuurlijk uit van commutatierelaties voor amplitude-operators van deze velden.
Laten we dan de Dirac-vergelijking en de bijbehorende functie hebben (in het algemeen – laten we de functie van willekeurige half-integer spin bekijken). Laten we ook aannemen dat we niet weten dat het een deeltje beschrijft. We kunnen bouwen positieve definitieve norm (met Lorentz invariante fullspace integraal), en de oplossing voor veld ziet er ook uit als harmonische osci llator. Maar voor een positieve definitie van energie moeten we anticommutatierelaties aannemen.
Dus de vraag: waarom nemen we aan dat Dirac-spinor $ \ Psi $ (of, in het algemeen, tensoren van een willekeurige spin) alleen de deeltje, niet het veld? Naar mijn mening laat het feit over een positieve definitieve norm de mogelijkheid open voor de beschrijving van het veld door deze spinor (niet het deeltje).
Mijn vraag gaat niet over de formele definitie van deze functies. Het zijn natuurlijk allemaal relativistische velden. Maar ze beschrijven verschillende fysieke objecten in klassieke limietvelden en deeltjes dienovereenkomstig. Maxwell-functie $ A _ {\ mu} $ beschrijft het EM-veld zelfs in de klassieke limiet, maar de Dirac-spinor $ \ Psi $ beschrijft het elektron alleen in het kwantumgeval (wanneer QM werk postuleert).
Opmerkingen
- Corrigeer me als ik me vergis, maar is de Dirac spinor $ \ Psi (\ mathbf x, t) $ een veldfunctie gedefinieerd op ruimtetijdcoördinaten? Deze functie geeft geen waarschijnlijkheid van de positie van een deeltje of deeltjes in de klassieke betekenis van het woord (zoals in de interpretatie van Born ‘ van Schroedinger ‘ s niet-relativistische vergelijking). In de kwantumveldentheorie is het een abstract operatorveld.
- @J á nLalinsk ý: jouw commentaar is zeer handig. Ik denk dat het antwoord erop volgt. Ja, volgens de definitie van het relativistische veld als functie die bepaalde op minkowskische ruimte, is je eerste bewering waar. Maar mijn vraag gaat over welk fysiek object deze functie beschrijft, niet over de wiskundige status van de functie. Wat betreft de volgende uitspraken kunnen we vrije velden aannemen, dus hoeven we ‘ zelfs niet het veld te kwantiseren, en dus gaan we niet uit van de kwantumveldentheorie (werkt alleen met relativistische QM).
- Ik denk dat er twee raamwerken gemengd zijn in je vraag, zowel de KG- als de Dirac-oplossing werden voor het eerst gebruikt als een uitbreiding van het eerste kwantisatiekader, en beide beschrijven deeltjes / kansgolven in dit raamwerk: bosonen voor KG en fermionen voor Dirac. Tweede kwantisering is een ander wiskundig raamwerk / visie die de oplossingen omzet in scheppings- en vernietigingsoperatoren. Het werkt bij het berekenen van doorsneden enz. Maar is niet bijzonder nuttig bij het visualiseren / passen van ” partikels-in / partikels-uit “. We hebben de neiging om het raamwerk van de eerste kwantisering te behouden bij het beschrijven van specifieke interacties.
- ” Maar mijn vraag is over welk fysiek object deze functie beschrijft, niet over de wiskundige status van de functie. ” Dat is een heel goede vraag! Misschien zou het helpen als u het aan de oorspronkelijke vraag zou kunnen toevoegen. Ik ‘ ben ook benieuwd naar antwoorden.
Answer
In QFT zal de Dirac-spinor ook worden gepromoveerd tot een veld, waarvan de oscillatiemoduscoëfficiënten creatie- en annihilatieoperatoren zijn.
MAAR: Voor de Dirac-spinor is het mogelijk om goed- definieer een kansdichtheid en stroom:
$$ \ rho ^ \ mu \ propto \ bar \ psi \ gamma ^ \ mu \ psi $$
De nulcomponent van deze stroom is positief definitief en met behulp van de Dirac-vergelijking kan men aantonen dat het geconserveerd is, dwz $ \ partiële_ \ mu \ rho ^ \ mu \ equiv 0 $.
Daarom wordt de Dirac, behalve dat het wordt geïnterpreteerd als een kwantumveld, spinor kan worden geïnterpreteerd als een deeltjesgolffunctie in gewone QM.
Ik wil u er echter aan herinneren dat de energie-eigenwaarden van de Dirac-operator niet van onderaf worden begrensd. Dit is niet zo problematisch als men akkoord gaat met het concept van de Diraczee van elektronen die al alle negatieve e bezet nergy staten.Hoewel de constructie van de Diraczee erg met de hand zwaait, levert het een belangrijke voorspelling op: het creëren van deeltjes-antideeltjesparen uit “pure energie” (dwz een foton).
Opmerkingen
- ” … de Dirac-spinor kan worden geïnterpreteerd als een deeltjesgolffunctie in gewone QM … “, – maar mag het worden geïnterpreteerd als veldgolffunctie in gewone QM, zoals $ A _ {\ mu} $?
- Ik weet niet zeker wat je bedoelt met ” veld golffunctie ” in gewone QM. Of je hebt een kwantumveldentheorie (wat geen gewone QM is) of je hebt kwantumdeeltjes en klassieke velden (waar geen concept is zoals een ” veldgolffunctie “).
- @Neuneck Uw formule voor $ \ rho ^ \ mu $ is die van het KG-veld! Het veld voor Dirac omvat $ \ gamma ^ \ mu $ matrices! Corrigeer. Eigenlijk lijkt de situatie erg op die van een complexe KG-vergelijking. In dat geval wordt energie beneden begrensd terwijl de behouden lading niet positief is (met duidelijk teken). Als u echter alleen oplossingen beschouwt die superpositie zijn van positieve frequentiemodi, is de lading positief en is de energie hieronder begrensd. Voor de Dirac-vergelijking, waarbij alleen positieve frequentieoplossingen worden beschouwd, zijn zowel energie als lading positief (met duidelijk teken).
- Bedankt, ik heb gecorrigeerd. Voor het KG-veld is er geen fysieke reden om alleen naar de positieve frequentiemodi te kijken in de reguliere QM. Voor de Dirac-vergelijking – zoals we te maken hebben met fermionen – als de negatieve energietoestanden eenmaal bezet zijn, is er geen manier waarop een deeltje zijn energie kan verminderen door te vervallen in een elke lager gelegen modus. Voor bosonen bestaat deze uitsluiting niet.
- Dus, begrijp ik goed dat de: Dirac-vergelijking buiten QFT een deeltje kan beschrijven, terwijl de Klein-Gordon-vergelijking dat niet kan vanwege het ongedefinieerde teken van ” norm ” van zijn oplossingen? (Ik ben niet de OP)
Geef een reactie