Waarom is de vectorvergelijking van de excentriciteit altijd gelijk aan -1?
Geplaatst op februari 13, 2021 door adminDit is de excentriciteitsvectorvergelijking, $$ e = \ frac {1} {\ mu} [( v ^ 2 – {\ mu \ over r}) r- (r \ cdot v) v] $$ $$ e = | e | $$ Nu is deze vergelijking anders geschreven vanuit veel verschillende bronnen, maar ze betekenen in wezen hetzelfde. Ik heb deze vergelijking uitgeprobeerd en ongeacht welke waarden ik aan de variabelen heb gegeven, het antwoord is altijd -1 (of 1 in absolute termen). Ik begrijp dat de excentriciteit van een parabool 1 is, maar deze vergelijking geldt ook voor ellipsen. Dus waarom is het antwoord altijd -1? Mis ik iets? Bij voorbaat dank.
Opmerkingen
Answer
De uitdrukking aan de rechterkant is bedoeld om de excentriciteit vector te geven, maar de vectornotatie is verloren gegaan.
Hier is het in dit antwoord :
$$ e = {v ^ 2 r \ over {\ mu}} – {(r \ cdot v) v \ over {\ mu}} – {r \ over {\ left | r \ right |}} $$
en de vectoraard is ook niet duidelijk. We zouden het moeten schrijven als
$$ \ mathbf {e} = {v ^ 2 \ mathbf {r} \ over {\ mu}} – {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}} – {\ mathbf {r} \ over {r}} $$
waarbij het vetgedrukte gezicht vectoren vertegenwoordigt en $ v = | \ mathbf {v} | $ en $ r = | \ mathbf { r} | $ , of als
$$ \ mathbf {e} = {| \ mathbf {v} | ^ 2 \ mathbf {r } \ over {\ mu}} – {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}} – {\ mathbf {r} \ over {\ left | \ mathbf {r} \ right |}} $$
In de uitdrukking $ (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} $ de term $ \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v} $ is een vector-puntproduct en retourneert een scalair , die vervolgens de vector $ \ mathbf {v} $ vermenigvuldigt.
Hier is een snelle berekening om het te bevestigen. Ik heb $ \ mu = 1 $ en $ a = 1 $ zodat de omlooptijd $ 2 \ pi $ is. Je kunt zien dat de excentriciteitsvector x-component +0,8 is en constant, en de y-component 0,0 is. Dat bevestigt dat de excentriciteitsvector altijd in de richting van periapsis wijst en zijn grootte altijd gelijk is aan de scalaire excentriciteit, die in dit geval 0,8 is
Python-script:
def deriv(X, t): x, v = X.reshape(2, -1) acc = -x * ((x**2).sum())**-1.5 return np.hstack((v, acc)) import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import odeint as ODEint halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)] e = 0.8 peri = 1. - e apo = 1. + e vperi = np.sqrt(2./peri - 1.) # vis-viva equation X0 = np.array([peri, 0] + [0, vperi]) times = np.linspace(0, twopi, 201) answer, info = ODEint(deriv, X0, times, full_output=True) r, v = answer.T.reshape(2, 2, -1) vsq = (v**2).sum(axis=0) rabs = np.sqrt((r**2).sum(axis=0)) evec = vsq*r - (r*v).sum(axis=0) * v - r/rabs if True: x, y = r plt.figure() plt.subplot(2, 1, 1) plt.plot(x, y) plt.plot([0], [0], "oy", markersize=16) # the Sun plt.xlim(-2, 0.5) plt.ylim(-1.25, 1.25) plt.subplot(4, 1, 3) plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("x, y", fontsize=16) plt.subplot(4, 1, 4) x, y = evec plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("evec_x, evec_y", fontsize=16) plt.show()
Reacties
- Reacties zijn niet bedoeld voor uitgebreide discussie; deze conversatie is verplaatst naar chat .
- @uhoh Ter verduidelijking: het vectorpuntproduct zal altijd 0 zijn in een cirkelvormige baan, toch? Omdat de hoek tussen waar mijn snelheid me naartoe brengt en de straal is altijd 90 graden. En in een elliptische baan is het vectorpuntproduct 0 bij apoapsis en periapsis.
- @StarMan ja dat ' is waar. Voor een cirkelvormige baan, of voor een periapsis en de apoapsis van een ellips, $ \ mathbf {v} \ cdot \ ma thbf {r} $ zal nul zijn. Als een snelle controle: voor een cirkel met $ e = 0 $, als de 2e term aan de rechterkant nul is, heb je $ 0 = v ^ 2 r / mu – 1 $ wat $ v ^ 2 = mu / r $ geeft, wat is de vis-viva-vergelijking voor een cirkelvormige baan waarin $ r = a $.
+1
voor een echt goede vraag! Als ik ' m nu een antwoord schrijf, duurt het ongeveer 20 minuten …