Dlaczego zakładamy, że spinor Diraca $ \ Psi $ opisuje cząstkę, a nie pole?
On 13 lutego, 2021 by adminPowszechnie wiadomo, że skalar Kleina-Gordona $ \ Psi (x) $, $$ (\ części ^ {2} + m ^ 2) \ Psi (x) = 0 $$ oraz 4-wektorowe $ A _ {\ mu} (x) $, $$ (\ częściowe ^ {2} + m ^ {2}) A _ {\ mu} = 0, \ quad \ częściowy _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0, $$ (a nawet funkcja spinu dowolnej liczby całkowitej) opisują pole: po pierwsze, nie ma normy określonej dodatnio (z niezmienną całką Lorentza w pełnej przestrzeni ) dla tej funkcji, a po drugie, rozwiązania swobodne są reprezentowane w postaci niezależnych oscylatorów harmonicznych, jak w przypadku klasycznego pola elektromagnetycznego. Więc naturalnie zakładamy relacje komutacyjne dla operatorów amplitud tych pól.
Następnie miejmy równanie Diraca i odpowiadającą mu funkcję (ogólnie – zobaczmy funkcję dowolnego spinu półcałkowitego). Załóżmy też, że nie wiemy, że opisuje on jakąś cząstkę. Możemy zbudować dodatnia norma określona (z niezmienną całką pełnoprzestrzenną Lorentza), a rozwiązanie dla pola również wygląda jak oscy harmoniczne llator. Ale dla dodatniej określonej energii musimy założyć relacje antykomutacyjne.
A więc pytanie: dlaczego zakładamy, że spinor Diraca $ \ Psi $ (lub ogólnie tensory dowolnego spinu) opisuje tylko cząstka, a nie pole? Moim zdaniem fakt o dodatniej określonej normie pozostawia możliwość opisu pola przez ten spinor (nie cząstkę).
Moje pytanie nie dotyczy formalnej definicji tych funkcji. Oczywiście wszystkie są dziedzinami relatywistycznymi. Ale opisują różne obiekty fizyczne w klasycznej granicy – odpowiednio pola i cząstki. Funkcja Maxwella $ A _ {\ mu} $ opisuje pole EM nawet w klasycznej granicy, ale spinor Diraca $ \ Psi $ opisuje elektron tylko w przypadku kwantowym (gdy QM postuluje działanie).
Komentarze
- Popraw mnie, jeśli się mylę, ale czy spinor Diraca $ \ Psi (\ mathbf x, t) $ nie jest funkcją pola zdefiniowaną we współrzędnych czasoprzestrzeni? Ta funkcja nie daje prawdopodobieństwa położenia cząstki lub cząstek w klasycznym znaczeniu tego słowa (jak w interpretacji Schroedingera ' div w Born ' > s nierelatywistyczne równanie). W kwantowej teorii pola jest to abstrakcyjne pole operatora.
- @J á nLalinsk ý: Twój komentarz to bardzo przydatne. Myślę, że odpowiedź na to jest następująca. Tak, zgodnie z definicją pola relatywistycznego jako funkcji, która została określona w przestrzeni minkowskiego, twoje pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe. Ale moje pytanie dotyczy tego, jaki obiekt fizyczny opisuje ta funkcja, a nie matematycznego statusu funkcji. Jeśli chodzi o następne stwierdzenia, możemy założyć wolne pola, więc nie ' nie musimy nawet kwantować pola, a więc nie zakładamy kwantowej teorii pola (działa tylko z relatywistyczną QM).
- Myślę, że w twoim pytaniu mieszają się dwie struktury, zarówno rozwiązania KG, jak i Dirac zostały po raz pierwszy użyte jako rozszerzenie pierwszej struktury kwantyzacji i obie opisują cząstki / fale prawdopodobieństwa w tej strukturze: bozony dla KG i fermiony dla Diraca. Druga kwantyzacja to inny model matematyczny / pogląd, który przekształca rozwiązania w operatory tworzenia i anihilacji. Działa przy obliczaniu przekrojów itp., Ale nie jest szczególnie przydatny w wizualizacji / dopasowywaniu ” cząstek wchodzących / wychodzących „. Staramy się zachować ramy pierwszej kwantyzacji przy opisywaniu określonych interakcji.
- ” Ale moje pytanie dotyczy tego, jaki obiekt fizyczny opisuje ta funkcja, a nie o matematyczny status funkcji. ” To bardzo dobre pytanie! Być może pomogłoby, gdybyś mógł dodać to do pierwotnego pytania. ' Też jestem ciekawy odpowiedzi.
Odpowiedź
W QFT spinor Diraca będzie również promowany do pola, którego współczynnikami trybu oscylacji są operatory tworzenia i anihilacji.
ALE: Dla spinora Diraca jest możliwe dobrze- zdefiniuj gęstość prawdopodobieństwa i prąd:
$$ \ rho ^ \ mu \ propto \ bar \ psi \ gamma ^ \ mu \ psi $$
Ten zerowy składnik prądu to dodatnio określony i używając równania Diraca można wykazać, że jest on zachowany, tj. $ \ części_ \ mu \ rho ^ \ mu \ equiv 0 $.
Dlatego oprócz interpretacji jako pola kwantowego spinor może być zinterpretowany jako funkcja falowa cząstek w zwykłym QM.
Przypomnę jednak, że wartości własne energii operatora Diraca nie są ograniczone od dołu. Nie jest to aż tak problematyczne, jeśli zgodzimy się z koncepcją morza elektronów Diraca, które już zajmują wszystkie ujemne e państw energetycznych.Chociaż konstrukcja morza Diraca bardzo macha rękami, dostarcza kluczowej prognozy: tworzenie pary cząstka-antycząstka z „czystej energii” (tj. Fotonu).
Komentarze
- ” … spinor Diraca można zinterpretować jako funkcję falową cząstek w zwykłym QM … „, – ale czy można to zinterpretować jako funkcję falową pola w zwykłym QM, np. $ A _ {\ mu} $?
- Nie jestem pewien, co masz na myśli przez ” funkcja falowa pola ” w zwykłym QM. Albo masz kwantową teorię pola (która nie jest zwykłą QM), albo masz cząstki kwantowe i klasyczne pola (gdzie nie ma pojęcia takiego jak ” funkcja falowa pola „).
- @Neuneck Twoja formuła na $ \ rho ^ \ mu $ jest taka, jak w polu KG! Ten dla pola Diraca obejmuje macierze $ \ gamma ^ \ mu $! Proszę popraw. W rzeczywistości sytuacja jest bardzo podobna do złożonego równania KG. W tym przypadku energia jest ograniczona poniżej, podczas gdy zachowany ładunek nie jest dodatni (z określonym znakiem). Jednak biorąc pod uwagę tylko rozwiązania, które są superpozycją dodatnich modów częstotliwości, ładunek jest dodatni, a energia jest ograniczona poniżej. W przypadku równania Diraca, biorąc pod uwagę tylko dodatnie rozwiązania częstotliwości, zarówno energia, jak i ładunek są dodatnie (z określonym znakiem).
- Dziękuję, poprawiłem. W przypadku pola KG w zwykłym QM nie ma żadnego fizycznego powodu, aby patrzeć tylko na dodatnie mody częstotliwości. Dla równania Diraca – tak jak mamy do czynienia z fermionami – po zajęciu stanów o ujemnej energii nie ma możliwości, aby cząstka mogła zmniejszyć swoją energię, rozpadając się do każdego niższego trybu. W przypadku bozonów to wykluczenie nie istnieje.
- Czy więc dobrze rozumiem, że równanie Diraca poza QFT może opisać cząstkę, podczas gdy równanie Kleina-Gordona nie może z powodu nieokreślonego znaku ” norm ” swoich rozwiązań? (Nie jestem operatorem)
Dodaj komentarz