Jak wyznaczyć pochodną rozkładu normalnego z jej parametrami?
On 13 lutego, 2021 by adminZwykle obliczamy pochodną gęstości normalnej w.r.t jej parametrów, średniej i wariancji. Ale czy możemy obliczyć pochodną rozkładu normalnego z parametrami (nie zmienną, wiem, że pochodna ze zmiennej daje gęstość)? Jeśli tak, jak to obliczymy?
Odpowiedź
Po prostu zastosuj regułę łańcucha , aby zróżnicować . CDF $ F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) $ zmiennej losowej $ N (\ mu, \ sigma ^ 2) $ $ X $ to $ \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) $ i tak $$ \ frac {\ części} {\ części \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = \ frac {\ części} {\ części \ mu} \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) = \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ frac {-1} {\ sigma} = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ right] $$ gdzie $ \ phi (x) $ jest standardem normalną gęstość i ilość w nawiasach kwadratowych na prawym wyrażeniu powyżej można rozpoznać jako gęstość $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ 2) $.
Zostawię obliczenie pochodna w odniesieniu do $ \ sigma $ lub $ \ sigma ^ 2 $, abyś mógł sam wypracować.
Komentarze
- @indumann Mam nie , dlaczego chcesz używać " zwykłych tabel " do znalezienia wartości liczbowej pochodnej $ \ frac {\ części} {\ części \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu } { \ sigma} \ right) \ right] $, ponieważ pochodna ma znany prosty wzór. Tak, starsze księgi tabel, takie jak Abramowitz i Stegun , zawierają tabele wartości funkcji gęstości normalnej, ale obecnie z " naukowym " są tak łatwo dostępne, że nie wspominając o R i MATLAB, Pythonie i Excelu, i … ewaluacja pochodnej jest łatwa.
- Zastanawiam się, co znalazł osoba pobierająca budzące zastrzeżenia co do mojej odpowiedzi.
Odpowiedź
To jest prosty rachunek różniczkowy. Pamiętaj, że całka (czyli skumulowana funkcja prawdopodobieństwa) jest w zasadzie sumą. Zatem pochodna sumy jest tym samym, co suma pochodnych. Dlatego po prostu różnicujesz funkcję (tj. gęstość) pod całką i całkujesz. To była moja bastardowana wersja podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego, które niektórym się tutaj nie podobało.
Oto jak można to zrobić z prawdopodobieństwem normalnym. Po pierwsze, ogólna relacja dla funkcji prawdopodobieństwa $ F (x; \ mu, \ sigma) $ i gęstości $ f (x; \ mu, \ sigma) $, gdzie średnia i odchylenie standardowe to parametry: $$ \ frac {\ części} {\ części \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = \ frac {\ części} {\ części \ mu} \ int _ {- \ infty} ^ xf (x; \ mu, \ sigma ) dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ części} {\ części \ mu} f (x; \ mu, \ sigma) dx $$
Właściwie użyłeś bardziej ogólna forma tej manipulacji zwana regułą Leibnitza , kiedy wspomniałeś, że różniczkowanie funkcji prawdopodobieństwa przez samą zmienną (tj. $ \ frac {\ części} {\ częściowe x} $) poda gęstość (PDF).
Następnie podłącz gęstość: $$ = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ części} {\ części \ mu } \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {2 ( x- \ mu)} {\ sigma ^ 2} \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx $$
Zmiana zmiennych $ \ xi = \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2} $: $$ = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma } \ left (- \ int_0 ^ \ infty e ^ {- \ xi} d \ xi + \ int_ {0} ^ {\ xi (x)} e ^ {- \ xi} d \ xi \ right) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} \ left (-1- (e ^ {- \ xi (x)} – 1) \ right) $$ $$ = – \ frac {e ^ {- \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2}}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} $$
Zatem masz: $$ \ frac {\ części} {\ części \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = – f (x ; \ mu, \ sigma) $$
Podobną sztuczkę można zastosować z wariancją.
Komentarze
- @dilipsarwate Dzięki. Oznacza to, że muszę sprawdzić normalne tabele, aby uzyskać wartość. Dobrze?
- Niestety, generalnie nie jest prawdą, że pochodna " sumy jest to samo, co suma pochodnych [the]. "
- Niestety w wyniku końcowym brakuje znaku minus (w powyższym wzorze pojawia się poprawnie). Ale wynik jest zły także z innego powodu. W tej chwili zamierzam zanegować tę odpowiedź w oczekiwaniu na poprawienie błędów i być może przepisanie pierwszego akapitu.
- Nie, nadal niepoprawne. Błąd zaczyna się zaraz po tym, jak powiesz " Następnie podłącz gęstość " i stamtąd będzie propagowana.
Dodaj komentarz