Narożne rozwiązanie problemu maksymalizacji

Oto sformułowanie problemu: \ begin {eqnarray *} \ max_ {c, h, l} \ & \ ln (c – \ gamma) + \ beta l + \ theta h \\ \ text {st} & l + h = 1, \\ & c \ leq \ omega h + \ rho, \\ \ text {i} & l, h \ geq 0, c \ geq \ gamma \ end {eqnarray *}

Podstawiając $ l = 1 – h $ , możemy przepisać powyższy problem jako: \ begin {eqnarray *} \ max_ {c, h} \ & \ ln (c – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {st} & 0 \ leq h \ leq 1 \\ \ text {and} & \ gamma \ leq c \ leq \ omega h + \ rho \ end {eqnarray *}

Ponieważ użyteczność rośnie w $ c $ , $ c = \ omega h + \ rho $ utrzyma się w optimum. Więc możemy jeszcze bardziej zredukować problem do:

\ begin {eqnarray *} \ max_ {h} \ & \ ln (\ omega h + \ rho – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {st} & 0 \ leq h \ leq 1 \\ \ text {and} & \ gamma \ leq \ omega h + \ rho \ end {eqnarray *}

Zwróć uwagę, że przyjmiemy, że $ \ omega + \ rho \ geq \ gamma $ . Dzieje się tak, ponieważ $ \ omega + \ rho < \ gamma $ , nie ma wykonalnego rozwiązania. Innymi słowy, nie ma żadnego $ h $ spełniające ograniczenia.

Aby rozwiązać ten problem, rozważymy dwa przypadki:

• Przypadek 1 : $ \ rho \ geq \ gamma $

W tym przypadku problem może być zapisane jako:

\ begin {eqnarray *} \ max_ {h} \ & \ ln (\ omega h + \ rho – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {s.t.} & 0 \ leq h \ leq 1 \ end {eqnarray *}

Pochodna celu w odniesieniu do $ h $ to $ \ frac {\ omega} {\ omega h + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) $ , które daje następujące rozwiązanie:

\ begin {eqnarray *} h = \ begin {cases} 1 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ omega + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ geq 0 \\ 0 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ leq 0 \\ \ frac {1} {\ beta – \ theta} – \ frac {\ rho – \ gamma} {\ omega} & \ text {inaczej} \ end {cases} \ end {eqnarray *}

• Przypadek 2 : $ \ rho < \ gamma $

W tym przypadku problem można zapisać jako:

\ begin {eqnarray *} \ max_ {h} \ \ ln (\ omega h + \ rho – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {st} & \ frac {\ gamma – \ rho} {\ omega} \ leq h \ leq 1 \ end {eqnarray *}

Pochodna celu w odniesieniu do $ h $ to $ \ frac {\ omega} {\ omega h + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) $ , co daje następujące rozwiązanie:

\ begin {eqnarray *} h = \ begin {cases} 1 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ omega + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ geq 0 \\ \ frac {1} {\ beta – \ theta} – \ frac {\ rho – \ gamma} {\ omega} & \ text {w innym przypadku} \ end {cases} \ end {eqnarray *}

Łącząc oba przypadki, możemy zapisać rozwiązanie jako:

\ begin {eqnarray *} h = \ begin {cases} 1 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ omega + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ geq 0 \\ 0 & \ text {if } \ frac {\ omega} {\ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ leq 0 \ text {and} \ rho \ geq \ gamma \\ \ frac {1} {\ beta – \ theta} – \ frac {\ rho – \ gamma} {\ omega} & \ text {w przeciwnym razie} \ end {cases} \ end {eqnarray *}

Używając $ c = \ omega h + \ rho $ i $ l = 1 -h $ możemy uzyskać optymalne wartości $ c $ i $ l $ w każdym z przypadków.

Komentarze

• Nie wiem, jak ci podziękować !! Jesteś najlepszy, a Twoje rozwiązanie jest tak sprytne i doskonałe !! Jeszcze raz dziękuję Amit

Rozwiązaniem narożnym nie jest $ c = a $ nie może tak być, ponieważ krańcowa użyteczność nawet niewielkiej części konsumpcji jest tam nieograniczona. Możesz jednak mieć rozwiązanie narożne, w którym $ h = 0 $ . Ponieważ agent ma dochód niezwiązany z pracą $ p $ , linia budżetowa jest załamana. Oznacza to, że jeśli agent uzyskuje duże dochody nawet bez pracy, może nie pracować iw pełni cieszyć się wolnym czasem.

Po znalezieniu optymalnego $ l $ , $ c $ i $ h $ Jestem pewien, że optymalny $ h $ jest zdefiniowany przez różnicę między dwoma terminami. Ponieważ nie możesz pracować w godzinach ujemnych, rozwiązanie narożne występuje, gdy równanie dla $ h $ staje się ujemne.

Jeśli nie jesteś pewien, co mam na myśli, po prostu zaktualizuj swoje pytanie faktycznymi formułami, które otrzymałeś, mogę podać dalsze komentarze i pomóc Ci znaleźć rozwiązanie narożne.

Komentarze

• Tak, nie mogę znaleźć dla $ c = a $. Ale ktoś mówi, że istnieje. Czy mogę przesłać moje rozwiązanie ręcznie? Ponieważ rozwiązanie jest zbyt długie, a moje pismo jest bardzo czytelne i dobre. Czy akceptujesz, drogi Regio?
• @ user315 " Czy mogę przesłać moje rozwiązanie ręcznie? " Tak, możesz to zrobić, edytując swoje pytanie.
• Wielkie dzięki …
• @callculus Przesłałem. Proszę sprawdź to. I proszę, powiedz mi, czy to prawda, czy nie. Wielkie dzięki.
• @Regio Dodałem moje rozwiązanie.