Pochodzenie zmiennych sprzężonych w teoriach fizycznych
On 16 lutego, 2021 by adminDlaczego zmienne sprzężone występują w parach? Na przykład w mechanice klasycznej mamy uogólnione współrzędne położenia i pędu oraz współrzędne kąta działania Jacobiego. Również w podstawowych równaniach termodynamicznych wszystkie odpowiednie wielkości występują parami, tj. Objętość i ciśnienie, entropia i temperatura, liczba cząstek i potencjał chemiczny. Z pewnością można przedstawić argument wymiarowy wyjaśniający, dlaczego chcemy tych par (aby dawały jednostki energii itp.), ale szukam argumentu pojęciowego, dlaczego zmienne sprzężone przyjdźcie w parach.
Przepraszam, jeśli to pytanie jest źle postawione.
Komentarze
- Być może związane z twoim pytaniem są wzajemne relacje onsagera między uogólnionymi strumieniami i siłami, które faktycznie można wyprowadzić z pierwszych zasad.
- Powiązane: physics.stackexchange.com/q/18280/2451
Odpowiedź
To może być najlepsza odpowiedź ed, rozważając swoje poprzednie przykłady (położenie i pęd) i ostatnie przykłady (objętość i ciśnienie itp.) oddzielnie. Zobacz to pytanie , aby dowiedzieć się, dlaczego rozważam je osobno.
Pierwszy zestaw przykładów (z mechaniki Hamiltona) ma swoje korzenie w dualności Pontriagina . Dowód tej koncepcji jest nieco szczegółowy, ale w istocie sprowadza się do próby znalezienia warunków, w których $ \ mathcal {F} (\ mathcal {F} (f)) $ jest w pewnym sensie równoważne $ f $. Tak się składa, że dotyczy to wszystkich zwartych grup abelowych. A także, jak to się dzieje, pozycja jest dualną pędem Pontryagina i vice versa.
Drugi zestaw przykładów (z termodynamiki) wyłania się, gdy patrzymy na rozkłady równowagi w termodynamice. W takim przypadku nie ma nic specjalnego w tych zmiennych, które występują w parach. Na przykład rozważ równanie energii wewnętrznej dla zespołu kanonicznego, wiążąc je z entropią (S), objętością (V), temperaturą (T) i ciśnieniem (p):
$$ \ mathrm {d } U = T \, \ mathrm {d} Sp \, \ mathrm {d} V $$ Jak widać, temperatura i ciśnienie to tylko „stałe proporcjonalności” zmian entropii i objętości w tym równaniu. Jeśli chodzi o to, dlaczego zmiany temperatury powodują zmiany w entropii (przenoszeniu ciepła), jest to spowodowane drugą zasadą termodynamiki, której celem jest zwiększenie entropii układu i kąpieli. Kiedy system jest nieco odchylany od równowagi, na przykład przez zwiększenie T $ kąpieli o bardzo małą ilość, pewna ilość entropii jest wymieniana i system ponownie się równoważy.
Jest inny rodzaj związku między temperaturą a ciepłem, powiedzmy, oraz położeniem / pędem. Chociaż uogólniony pęd i położenie są powiązane przez odwrotne równania różniczkowe, to samo nie dotyczy temperatury i ciepła.
Dodaj komentarz