Pochodzenie zmiennych sprzężonych w teoriach fizycznych

To może być najlepsza odpowiedź ed, rozważając swoje poprzednie przykłady (położenie i pęd) i ostatnie przykłady (objętość i ciśnienie itp.) oddzielnie. Zobacz to pytanie , aby dowiedzieć się, dlaczego rozważam je osobno.

Pierwszy zestaw przykładów (z mechaniki Hamiltona) ma swoje korzenie w dualności Pontriagina . Dowód tej koncepcji jest nieco szczegółowy, ale w istocie sprowadza się do próby znalezienia warunków, w których $ \ mathcal {F} (\ mathcal {F} (f)) $ jest w pewnym sensie równoważne $ f $. Tak się składa, że dotyczy to wszystkich zwartych grup abelowych. A także, jak to się dzieje, pozycja jest dualną pędem Pontryagina i vice versa.

Drugi zestaw przykładów (z termodynamiki) wyłania się, gdy patrzymy na rozkłady równowagi w termodynamice. W takim przypadku nie ma nic specjalnego w tych zmiennych, które występują w parach. Na przykład rozważ równanie energii wewnętrznej dla zespołu kanonicznego, wiążąc je z entropią (S), objętością (V), temperaturą (T) i ciśnieniem (p):

$$ \ mathrm {d } U = T \, \ mathrm {d} Sp \, \ mathrm {d} V $$ Jak widać, temperatura i ciśnienie to tylko „stałe proporcjonalności” zmian entropii i objętości w tym równaniu. Jeśli chodzi o to, dlaczego zmiany temperatury powodują zmiany w entropii (przenoszeniu ciepła), jest to spowodowane drugą zasadą termodynamiki, której celem jest zwiększenie entropii układu i kąpieli. Kiedy system jest nieco odchylany od równowagi, na przykład przez zwiększenie T $ kąpieli o bardzo małą ilość, pewna ilość entropii jest wymieniana i system ponownie się równoważy.

Jest inny rodzaj związku między temperaturą a ciepłem, powiedzmy, oraz położeniem / pędem. Chociaż uogólniony pęd i położenie są powiązane przez odwrotne równania różniczkowe, to samo nie dotyczy temperatury i ciepła.