Złożone impedancje
On 16 lutego, 2021 by adminCo to znaczy mieć złożoną impedancję?
Na przykład impedancja kondensatora (w domenie Laplacea ?) jest dana przez 1 / sC (wierzę), co równa się \ $ \ dfrac {1} {j \ cdot 2 \ pi \ cdot f \ cdot C} \ $, gdzie pomijane są transjenty. Co to znaczy, że impedancja jest wyimaginowana?
Jestem obecnie na drugim roku inżynierii elektrycznej na uniwersytecie, więc jeśli to możliwe, doceniłbym matematycznie uzasadnioną i dokładną odpowiedź, jeśli niezbyt kłopotliwy, z odniesieniem do materiałów do nauki (zasoby internetowe i papierowe) idealne.
Z góry dziękuję.
Komentarze
- Nie ' czy uczysz się dokładnie tego na swoich kursach? Na pewno masz już jeden lub dwa podręczniki, które szczegółowo omawiają ten temat. To bardzo szeroki temat, który jest trudny odpowiedzieć bez bardziej szczegółowego pytania.
- Dodatkowe źródło
- Wydaje się, że podręczniki, które zakładam, to już znane z poprzednich kursów (a my tego nie uczyliśmy '). Ponadto moi wykładowcy zmieniali kolejność, więc ' prawdopodobnie nauczymy się go później, ale nie wcześniej niż będziemy tego potrzebować.
- Wygląda na to że z twojego powodu wiele tematów pozostało nietkniętych i ' jest bardzo niewygodne na kursie inżynierskim …
Odpowiedź
TL; DR Wyimaginowana część impedancji określa reaktywną składnik impedancji; Odpowiada to (między innymi) za różnicę faz między prądem i napięciem oraz moc bierną wykorzystywaną przez obwód.
Podstawową zasadą jest to, że każdy sygnał okresowy może być traktowany jako suma (czasami) nieskończone fale sinusoidalne zwane harmonicznymi, o równo rozłożonych częstotliwościach. Każdy z nich można traktować osobno, jako oddzielny sygnał.
Dla tych sygnałów używasz reprezentacji, która wygląda następująco: $$ v (t) = V_ {0} \ cos (2 \ pi ft + \ phi) = \ Re \ {V_ {0} e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi} \} $$
I widać, że wskoczyliśmy już w dziedzinę złożonych liczby, ponieważ do reprezentacji rotacji można używać złożonej wykładniczej.
Więc impedancja może być aktywna (rezystancja) lub reaktywna (reaktancja); podczas gdy pierwsza z definicji nie wpływa na fazę sygnałów (\ $ \ phi \ $), tak reaktancja ma, więc użycie liczb zespolonych jest możliwe do oszacowania zmienności w fazie wprowadzanej przez reaktancję.
Otrzymujesz: $$ V = I \ cdot Z = I \ cdot | Z | \ cdot e ^ {j \ theta} $$
gdzie | Z | jest wielkością impedancji , podane przez: $$ | Z | = \ sqrt {R ^ 2 + X ^ 2} $$
a theta jest fazą wprowadzoną przez impedancję i jest dana wzorem: $$ \ theta = \ arctan \ left (\ frac {X} {R} \ right) $$
Po zastosowaniu do poprzedniej funkcji staje się: $$ v (t) = \ Re \ {I_ {0} | Z | e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi + \ theta} \} = I_ {0} | Z | \ cos (2 \ pi ft + \ phi + \ theta) $$
Rozważmy idealny kondensator: jego impedancja będzie wynosić \ $ \ frac {1} {j \ omega C} = – \ frac {j} {\ omega C} \ $, co jest urojone i ujemne; jeśli umieść go w obwodzie trygonometrycznym, uzyskasz fazę -90 °, co oznacza, że przy obciążeniu czysto pojemnościowym napięcie będzie 90 ° za prądem.
Więc w hy?
Powiedzmy, że chcesz zsumować dwie impedancje, 100 Ohm i 50 + i50 Ohm (lub, bez liczb zespolonych, \ $ 70.7 \ angle 45 ^ \ circ \ $). Następnie za pomocą liczb zespolonych sumujesz część rzeczywistą i urojoną i otrzymujesz 150 + i50 Ohm.
Bez użycia liczb zespolonych sprawa jest bardziej skomplikowana, ponieważ możesz użyć albo cosinusów, jak i sinusów (ale to jest to samo z użyciem liczb zespolonych) lub wpadnij w bałagan wielkości i faz. To zależy od ciebie :).
Teoria
Kilka dodatkowych pojęć, próbując rozwiązać twoje pytania:
- Reprezentacja harmonicznych sygnałów jest zwykle rozpatrywana przez rozkład szeregów Fouriera :
$$ v (t) = \ sum _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {jnt}, \ text {where} c_ {n} = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} v (t) e ^ {- jnt} \, dt $$
- Złożona wykładnicza jest związana z cosinusem również przez Wzór Eulera :
$$ cos (x) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {-ix}} {2} $$
Komentarze
- Bardzo dziękuję za odpowiedź. Jeśli chodzi o równanie v (t), wystarczy wyjaśnij, masz na myśli v (t) = v0 cos (2pi f0 t + phi) + v1 cos (2pi f1 t + phi) + … + vn cos (2pi fn t + phi) (ponieważ sygnał można przedstawić jako możliwie nieskończoną liczbę sinusoid o różnych częstotliwościach)? Zatem, czy wyprowadzasz wyraz R (V0 exp (j2pift + phi)) z cos (x) = 0,5 exp (ix) + 0,5 exp (-ix)? Jeśli tak jest, gdzie idzie termin 0,5 exp (-2pift …)?Ponadto w równaniu prawa ' Ohma, prawdopodobnie V (t) daje rzeczywiste wyrażenie, ale exp (j omega) nie ' t, więc jak to działa? Jeszcze raz dziękuję.
- MMH wiele pytań :). O pierwszym, niezupełnie: sprawdź reprezentację szeregu Fouriera, ale teoretycznie możliwe są również inne dekompozycje; o wykładniczym, tak, jest to ' równoważność Eulero. To samo dotyczy ostatniego pytania: zespolona wykładnicza daje obrót, ale potem ' bierze tylko część rzeczywistą.
- Wow, że ' to szybka odpowiedź! Dlaczego bierze się tylko część rzeczywistą? To nie ' nie wydaje się matematycznie poprawne. Jeszcze raz dziękuję.
- Czy tego ' mi brakuje? ” Aexp (i omega) … należy rozumieć jako skrótową notację, kodującą amplitudę i fazę podstawowej sinusoidy. ” z en.wikipedia.org/wiki/Phasor#Definition . Czy pomysł, że reprezentacja liczb zespolonych jest skrótem do reprezentacji kąta (fazy) i wielkości?
- @JonaGik tak, to ' to wygodna reprezentacja sygnałów sinusoidalnych, jak również podaje strona wiki. Powiedziałbym, że każdy obiekt matematyczny jest skrótem reprezentującym lub rozwiązującym jakiś prawdziwy problem …
Odpowiedź
Jestem pewien, że to nie odpowie w pełni na twoje pytanie, w rzeczywistości mam nadzieję, że uzupełni to już udzielone odpowiedzi, które wydają się zaniedbywane: koncepcja stojąca za użyciem liczb zespolonych (która, jak już powiedziałem, jest tylko wymyślną nazwą dla rodzaj matematycznej „ilości”, jeśli wolisz).
Pierwszym głównym pytaniem, na które powinniśmy odpowiedzieć, jest dlaczego liczby zespolone. Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy zrozumieć potrzebę różnych zestawów liczb, od liczb naturalnych do liczb rzeczywistych.
Od wczesnych wieków liczby naturalne pozwalały ludziom liczyć, np. Jabłka i pomarańcze na rynku. Następnie wprowadzono liczby całkowite, aby odnieść się do pojęcia „zadłużenia” za pomocą liczb ujemnych (w tamtym czasie było to trudne do zrozumienia pojęcie). Teraz rzeczy stają się bardziej interesujące z liczbami wymiernymi i potrzebą przedstawiania „ilości” ułamkami. Interesujące w przypadku tych liczb jest to, że potrzebujemy dwóch liczb całkowitych, a nie tylko jednej (jak w przypadku liczb naturalnych i całkowitych), na przykład 3/8. Ten sposób przedstawiania „ilości” jest bardzo przydatny, na przykład do opisania liczby plasterków (3) pozostałych w 8-krotnym tortu, gdy 5 zostało już zjedzonych 🙂 (nie można tego zrobić z liczbą całkowitą!).
Przejdźmy teraz do liczb niewymiernych i rzeczywistych i przejdźmy do liczb zespolonych. Inżynierowie elektronicy stanęli przed wyzwaniem opisania i obsługi innego rodzaju „wielkości”, napięcia (i prądu) sinusoidalnego w obwodzie liniowym (tj. Zbudowanym z rezystorów, kondensatorów i cewek). Zgadnij co, odkryli, że rozwiązaniem są liczby zespolone.
Inżynierowie wiedzieli, że sinusoidy są reprezentowane przez 3 składowe, to znaczy A (amplituda), \ $ \ omega \ $ (częstotliwość kątowa) i faza (\ $ \ phi \ $): $$ y (t) = A \ cdot sin (\ omega t + \ phi) $$
Zrozumieli również, że w obwodzie liniowym częstotliwość kątowa (\ $ \ omega \ $) nie zmieniłby się z węzła na węzeł, to znaczy bez względu na punkt badanego obwodu zobaczyłbyś tylko różnice pod względem amplitudy i fazy, a nie częstotliwości. Następnie doszli do wniosku, że interesującą (zmienną) częścią napięcia (lub prądu) sinusoidalnego jest jego amplituda i faza. Tak więc, podobnie jak w przypadku liczb wymiernych, potrzebujemy dwóch liczb do reprezentowania zmieniającego się napięcia sinusoidalnego w liniowym węźle obwodu, w tym przypadku (A, phi). W rzeczywistości zdali sobie sprawę, że algebra liczb zespolonych, to znaczy sposób, w jaki operujesz i porównujesz te liczby ze sobą, pasuje jak rękawiczka do sposobu, w jaki sinusoidy są obsługiwane przez obwody liniowe.
Więc kiedy mówisz, że impedancja kondensatora wynosi \ $ \ frac {1} {j \ omega C} \ $ tj. (A = 1 / C, phi = -90º) w powyższym zapisie, tak naprawdę mówisz, że napięcie jest opóźnione o 90º w odniesieniu do aktualnej fazy. I proszę, zapomnij o „transcendentalnej” nomenklaturze dotyczącej wyimaginowanych i złożonych… w rzeczywistości mówimy o „ilościach” z dwoma ortogonalnymi składnikami (tj. „Które się nie mieszają bez względu na to, jak mocno potrząśniesz nimi w filiżance koktajlowej” „), podobnie jak wektory, które reprezentują dwa różne fizyczne aspekty zjawisk.
UPDATE
Jest też kilka uwag, które bardzo polecam przeczytać „Wprowadzenie do analizy złożonej dla inżynierów” Michaela D. Aldera. To bardzo przyjazne podejście do tematu. W szczególności polecam pierwszy rozdział .
Odpowiedź
Użycie liczb zespolonych jest matematycznym sposobem przedstawienia składowych fazowych i pozafazowych – prądu względem napięcie. Impedancja wyobrażona nie oznacza, że impedancja nie istnieje, oznacza to, że prąd i napięcie są ze sobą w fazie. Podobnie rzeczywista impedancja nie oznacza rzeczywistej w codziennym sensie, tylko że prąd jest w fazie z napięciem.
Komentarze
- Rozumiem koncepcyjnie tych pomysłów, zastanawiałem się tylko, jak w rzeczywistości działa złożona impedancja – jaki jest matematyczny powód tego, że jest złożona i jak się ją wyprowadza?
- @JonaGik gdzie brakowało mojej odpowiedzi? Myślałem, że odpowiada ten matematyczny powód …
- Czy to prawda? Czy idea, że reprezentacja liczb zespolonych jest skrótem reprezentacji kąta (fazy) i wielkości? Więc kiedy interpretujemy złożoną impedancję, rozważamy ją reprezentować po prostu opóźnienie fazy i wielkość?
Odpowiedź
-
Opisy poniżej SZUKAJ, aby zdemitologizować, co rozumie się przez „złożone” ilości w kontekście RCL. Pojęcia „wyimaginowanych” komponentów są użyteczną metaforą, która ma tendencję do zaślepiania ludzi na prostą zasadniczą lities. Poniższy tekst mówi w kategoriach RC i nie porusza tajemnic LC, które w rzeczywistości nie są bardziej tajemnicze.
-
Byłoby bardziej korzystne dla Ciebie, gdybyś zrobił wszystko, co w twojej mocy, aby rozwiązać większość poruszonych przez siebie kwestii za pomocą podręcznika lub wyszukiwarki internetowej, zanim zaczniesz szukać wyjaśnień od innych, PONIEWAŻ to pytanie jest bardzo fundamentalne dla podstaw obwodów prądu przemiennego z elementami reaktywnymi. Radzenie sobie z trudnymi pytaniami ma pierwszeństwo przed tym, jak będziesz radzić sobie z podobnymi sprawami w trakcie swojej edukacji, a internet ma prawdopodobnie miliony stron poświęconych temu zagadnieniu (Gargulec mówi, że ~ = 11 milionów, ale kto to wie?). Stopień szczegółowości i dokładności, o który prosisz, jest nierealistyczny w przypadku takiej witryny, biorąc pod uwagę ogromną ilość szczegółów „tam”. (Chyba że właściciele witryn próbują powielić podzbiór Wikipedii).
Tak – wiem, że pomoc w zrozumieniu podstaw jest dobrym pomysłem, abyś mógł go podnieść i zacząć z nim korzystać. Więc …
Jeśli podłączysz zacisk wejściowy do rezystora szeregowego do kondensatora, a drugi kondensator jest „uziemiony”, otrzymasz szeregowy obwód RC:
Vin – rezystor – kondensator – masa.
Jeśli teraz zastosujesz napięcie krokowe na wejściu, prąd kondensatora będzie się dostosowywał, ale kondensator zacznie się ładować, używając tego napięcia do wytwarzania prądu w rezystorze. Wzrost napięcia będzie wykładniczy, ponieważ prąd wpływający do kondensatora zostanie obciążony przez Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / Rseries. tj. gdy Vcap rośnie, potencjał na rezystorze spada, a więc prąd maleje. Teoretycznie zajmie to nieskończenie dużo czasu, zanim Vcap dotrze do Vin, ale w praktyce jest mniej więcej „tam w około 3 stałych czasowych, gdzie
t = RC = czas potrzebny na spadek Iin do 1 / e. wartość początkowa. Co i dlaczego z terminu 1 / e, który już znasz lub zrobisz po przeczytaniu odniesień.
TERAZ, jeśli zastosujemy sygnał prostokątny, kondensator będzie się ładował jak powyżej, gdy wejście będzie dodatnie i rozładuje się w podobny sposób wykładniczy, gdy wejście jest uziemione lub ujemne. Podczas gdy prąd kondensatora będzie podążał za Vin i będzie maksymalny, gdy Vin przechodzi w stan wysoki / niski lub niski, napięcie kondensatora, z powodów opisanych powyżej, będzie pozostawać w tyle za napięcie wejściowe. Po osiągnięciu stanu ustalonego, jeśli wykreślisz Vcap i I cap, zobaczysz dwa przebiegi przesunięte o prawie 90 stopni lub tak małe, jak prawie o stopnie, gdzie jeden cały cykl wejściowy = 360 stopni. Jak daleko napięcie kondensatora opóźnia się w stosunku do prądu w zależności od częstotliwości wejściowej i RC ti mnie stała.
Dla niewtajemniczonych może to wyglądać jak magia (lub użycie tiotimoliny *), z przebiegiem prądu występującym do 1/4 cyklu przed jego napięciem, ALE dzieje się tak tylko dlatego, że logiczne przyczyna tego, jak wyjaśniono powyżej, niekoniecznie jest intuicyjnie oczywista podczas inspekcji.
Jeśli zaczniesz czesać kondensatory, rezystory i cewki na różne sposoby, musisz umieć matematycznie radzić sobie z względnymi fazami różnych przebiegów. [Na początku może się wydawać, że fazory są ustawione na ogłuszenie].
Właściwe wyliczenie lub podstępne spojrzenie na niektóre z około 10 milionów stron internetowych na ten temat wskaże, że gdzie mają dwa przebiegi, które różnią się zależnością fazową między sobą i które są oparte na wzajemnej relacji wykładniczej, wtedy każdy przebieg może być reprezentowany przez biegunową reprezentację postaci [R, Theta], która w okresie może być reprezentowana jako liczba zespolona który ma składowe X i Y, które odzwierciedlają postać biegunową.
„Wektor” biegunowy, który reprezentuje zależność napięcia i prądu w danej sytuacji, wykorzystuje „metaforę” obracającego się ramienia wektora, podając długość ramienia i kąt fazowy względem odniesienia. Tę „metaforę” można zastąpić składową X i Y, w której wielkość postaci biegunowej jest określona przez R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2), a kąt theta jest określony przez tan ^ -1 (X / Y ). Można to zobaczyć na poniższym schemacie.
OSTRZEŻENIE – nie daj się zwieść terminologii.
Zwróć uwagę, że termin „liczba zespolona” to po prostu żargon. Użycie funkcji sqrt (-1) jest użyteczną częścią metafory, która umożliwia działanie arytmetyki ALE rzeczywiste ilości są całkowicie rzeczywiste i „zwyczajne”. Gdy używane są elementy reaktywne, takie jak cewki indukcyjne i kondensatory, moc nie będzie już po prostu iloczynem wielkości w wektory napięcia i prądu. tj. moc z V.sin (fred) x I.sin (Josepine) nie (zwykle) = VI. Nie oznacza to niczego specjalnego, magicznego, złożonego lub urojonego w zaangażowanych zmiennych – to jest tylko, że są one zmienne w czasie, a ich szczytowe wielkości zwykle nie będą się pokrywać.
Dodatkowe czytanie – bardzo zalecane:
Kalkulator złożonej impedancji
- I Asimov.
Komentarze
- @Kortuk – Większość z powyższego została napisana przed moją inicjałem pisemna odpowiedź, ale nie wysłałem jej na tym etapie, ale mogła zostać dodana w odpowiednim czasie, kiedy lepiej sprawdzona. Jak zapewne wiecie, często dodaję duże transze materiałów do początkowych postów. W jego przypadku twoje podejście marchewkowo-kijowe (bez marchewki) było raczej demotywacyjne, ale szkoda pozwolić, aby źle ukierunkowane style motywacyjne osiągały ich najbardziej normalne efekty. Niektóre z nich reagują wystarczająco dobrze na delikatne kajdanki wokół ucha, ale nie większość, ' już znalazłem. Niektórzy tutaj się nie zgadzają :-).
Odpowiedź
Wyrażanie pojemności i indukcyjności jako wyimaginowanych oporów ma tę zaletę, że potrafi wykorzystać dobrze znane metody rozwiązywania problemów liniowych z rezystorami do rozwiązywania problemów liniowych z rezystorami, kondensatorami i cewkami.
Takie problemy liniowe i ich dobrze znane metody to na przykład
- Problem: obliczenie rezystancji dwóch rezystorów połączonych szeregowo
Metoda: R = R1 + R2
może być również użyte do obliczenia impedancji rezystora / kondensatora / cewki połączonej szeregowo z innym rezystorem / kondensatorem / cewką -
Problem: obliczenie rezystancji dwóch rezystorów równolegle
Metoda: R = R1 * R1 / (R1 + R2)
może być również wykorzystana do obliczenia impedancji rezystora / kondensatora / cewki indukcyjnej w równolegle z innym rezystorem / kondensatorem / cewką -
Problem: rozwiązanie sieci zawierającej rezystory, źródła napięcia stałego i prądu stałego
Metoda: rozwiązanie układu jednoczesnego równania liniowe
mogą być również używane do rozwiązywania sieci zawierającej rezystory, kondensatory, cewki indukcyjne, napięcie AC lub DC i źródła prądu AC lub DC - itp.
Wszystkie te formuły / metody, które działają z rzeczywistymi wartościami rezystancji (tylko rezystory) i źródłami prądu stałego, działają równie dobrze z wartościami złożonymi (rezystory, cewki, kondensatory) i źródłami prądu przemiennego.
Odpowiedź
Chociaż nie ma żadnego intuicyjnego powodu, dla którego używanie liczb zespolonych do reprezentowania kombinacji sygnałów w fazie i pozafazowych powinno być przydatne, okazuje się, że reguły arytmetyczne dla liczb zespolonych bardzo dobrze pasują do rzeczywistego zachowania i interakcji rezystorów, kondensatorów i cewek.
Liczba zespolona to suma dwóch części: części rzeczywistej i „urojonej „część, która może być reprezentowana przez liczbę rzeczywistą pomnożoną przez i , która jest zdefiniowana jako pierwiastek kwadratowy z -1. Liczbę zespoloną można zapisać w postaci A + Bi , przy czym zarówno A , jak i B to liczby rzeczywiste. Następnie można użyć zasad arytmetyki wielomianowej do działania na liczbach zespolonych, traktując i jako zmienną, ale można też zastąpić i ² o -1 (więc np. iloczyn Pi × Qi to -P × Q).
Przy dowolnej częstotliwości można określić, jak zachowa się sieć rezystorów, cewek indukcyjnych i kondensatorów, obliczając efektywną impedancję każdego elementu, a następnie stosując prawo Ohma do obliczenia efektywnej rezystancji kombinacji szeregowych i równoległych oraz napięć i prądów przez nie.Ponadto, ponieważ rezystory, kondensatory i cewki indukcyjne są urządzeniami liniowymi, można obliczyć, jak zachowa się sieć, gdy zostaną wprowadzone kombinacje częstotliwości, obliczając, co zrobią z każdą określoną częstotliwością, a następnie sumując wyniki. Złożona arytmetyka może być bardzo przydatna, gdy próbuje się analizować zachowanie rzeczy, takich jak filtry, ponieważ pozwala obliczyć wyjście filtru jako funkcję wejścia. Podając sygnał wejściowy o pewnej liczbie rzeczywistej v wolt z pewną częstotliwością f , można obliczyć napięcie lub prąd w dowolnym węźle; część rzeczywista będzie w fazie z wprowadzonym kształtem fali, a część urojona będzie miała przesunięcie w fazie pod kątem 90 stopni. Zamiast używać wymyślnych równań różniczkowych do rozwiązywania problemów w obwodzie, można zastosować stosunkowo podstawową arytmetykę na liczbach zespolonych.
Odpowiedź
Liczby zespolone są używane w elektrotechnice dla wielkości, które mają wielkość i fazę. Impedancja elektryczna to stosunek prądu do napięcia. W przypadku prądów i napięć prądu przemiennego przebiegi prądu i napięcia mogą nie być w fazie; faza impedancji informuje o różnicy faz.
Komentarze
- Dlaczego głosowanie w dół?
Dodaj komentarz