Zrozumienie relacji dyspersji
On 14 lutego, 2021 by adminPróbuję zrozumieć fizyczne znaczenie relacji dyspersji. Czy to, jak niejednorodne są media? Albo jak bardzo pola elektromagnetyczne rozprzestrzeniają się w mediach? Lub?
Odpowiedź
relacja dyspersji wyraża zależność między wektorem falowym $ k $ a częstotliwością $ \ omega $. Relacja dyspersji ma postać relacji funkcjonalnej dla $ \ omega (k) $, która na ogół nie jest liniowa. Ponieważ $ \ omega / k $ jest w zasadzie zależne od prędkości (fazowej) fali, zależność dyspersji opisuje zależność prędkości fazowej od długości fali.
Najbardziej znanym przykładem jest rozproszenie światła o pryzmat:
Parzysty jeśli pryzmat jest wykonany z jednorodnego szkła, współczynnik załamania szkła zmienia się o k $, co prowadzi do dyspersji.
W falach mechanicznych – jak na strunie lub w powietrzu – relacja $ \ omega / k = $ stała jest tylko przybliżeniem pierwszego rzędu (w istocie liniowym przybliżeniem w sensie że powiązane równanie falowe jest liniowym PDE), a prawdziwa zależność dyspersji jest bardziej skomplikowana. Na przykład częstotliwość fali na strunie jest realistycznie powiązana z wektorem falowym przez $$ \ omega ^ 2 = \ frac {T_0} {\ rho_0} k ^ 2 + \ alpha k ^ 4 + \ ldots \ tag { 1} $$, gdzie $ T_0 $ to naprężenie struny, a $ \ rho_0 $ to gęstość liniowa struny. Współczynnik $ \ alpha $ wyniósłby $ 0 $, jeśli sznurek był idealnie elastyczny. Równanie (1) zostało napisane tak, aby sugerować, że jest to początek rozwinięcia Taylora w $ k ^ 2 $.
A zatem, odpowiadając konkretnie na pytanie OP: dyspersja nie mierzy braku jednorodności medium, ale raczej brak prostej liniowości między $ \ omega $ a $ k $. Jest to szczególnie ważne, gdy fala nie jest monochromatyczna, ponieważ wszystkie długości fal będą się rozchodzić na nieco innych częstotliwościach, nawet jeśli ośrodek jest fizycznie jednorodny.
Ponieważ w fizyce kwantowej energia jest powiązana z $ \ hbar \ omega $, relacja dyspersji oddaje pewne podstawowe fizyczne cechy problemu. Na przykład, relacja dyspersji równania Kleina-Gordona jest po prostu (w jednostkach z $ \ hbar $ i $ c = 1 $) $$ \ omega ^ 2 = k ^ 2 + m ^ 2 $$, które po prostu przekształca się w dobrze znane relatywistyczne równanie $ E ^ 2 = p ^ 2 + m ^ 2 $.
Komentarze
- Relacja dyspersji równania KdV zawiera amplituda fali (a właściwie stosunek jej do głębokości wody). To ' jest nieliniowością, a nie terminem $ k ^ 3 $. To jest po prostu dokładniejsze przedstawienie dyspersji LINIOWEJ.
- @NickP Edytowałem przez zobacz równanie (7) z whoi.edu/fileserver.do? id = 136524 & pt = 10 & p = 85713
- It ' zawsze warto zaufać Grimshawowi 🙂 Wyraża dokładnie to, co ' mówię.
Odpowiedź
Relacja dyspersji mówi ci, jak częstotliwość $ \ omega $ fali zależy od jej długości $ \ lambda $ – jednak jest to matematycznie lepiej użyć odwrotnej długości fali lub liczby fali $ k = 2 \ pi / \ lambda $ podczas pisania równań, ponieważ prędkość fazowa wynosi
$ v _ {\ rm phase} \ \ = \ omega / k $
a prędkość grupowa wynosi
$ v _ {\ rm group} \ \ = d \ omega / dk $.
Dotyczy to wszystkich typów fal. Odnośnie fal elektromagnetycznych w próżni:
$ \ omega (k) = ck $
tak, że
$ v _ {\ rm phase} \ \ = v_ { \ rm grupa} \ \ = c $.
Fale są bezdyspersyjne. W ośrodku, nawet jednorodnym, takim jak szkło, współczynnik załamania światła rośnie wraz z częstotliwością (oczywiście w widzialnym), tak że światło jest rozpraszane przez kolor.
Dodaj komentarz