Campo elétrico fora e dentro de uma esfera
On Dezembro 31, 2020 by adminUma esfera isolante de raio a carrega uma carga total $ q $ que é uniformemente distribuída sobre o volume da esfera.
Estou tentando encontrar a distribuição do campo elétrico dentro e fora da esfera usando a Lei de Gauss.
Sabemos que na superfície gaussiana fechada com distribuição de carga esfericamente simétrica Estados da Lei de Gauss : $ \ frac {q} {ε_0} = \ oint \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} $
- Fora da esfera: Logicamente, a carga fora de uma esfera irá esteja sempre na superfície gaussiana e não muda, portanto o campo elétrico fora de uma esfera: $ E = \ frac {q} {4πε_0r ^ {2}} $
- Dentro da esfera: Porque a carga é distribuída simetricamente na superfície e se eu imagino uma pequena esfera com raio r dentro da esfera com raio r, a pequena esfera terá menos carga em sua superfície. $ E = \ frac {q \ r} {4πε_0a ^ {3}} $
Esta explicação é suficiente?
Qual seria a diferença se eu tivesse um esfera condutora?
Resposta
Ao usar a fórmula de Gauss, o q não é a carga distribuída na superfície, é a carga cercado por sua esfera gaussiana. Dentro da esfera, as cargas são distribuídas uniformemente por todo o volume e não pela superfície. Isso significa que, ao considerar o interior do isolador, você precisa considerar quanto volume encerrou com sua esfera gaussiana e, em seguida, quanta carga está dentro desse volume usando a distribuição de carga.
Resposta
Talvez você tenha um leve mal-entendido sobre a Lei de Gauss. Afirma que a integral do produto escalar dos vetores do campo elétrico com os vetores normais da superfície fechada, integrados em toda a superfície, é igual à carga total encerrada no interior da superfície (vezes alguma constante). Isso é verdade não apenas para uma superfície esférica, mas para qualquer superfície fechada. Neste caso, uma superfície esférica é muito conveniente, pois devido à simetria do campo elétrico, os vetores do campo serão sempre paralelos aos vetores normais da superfície. O que significa que
$$ \ oint \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} = E * 4 \ pi * r ^ 2 \ tag {1} $$
Aqui, os lados esquerdo e direito da equação são uma função da distância da origem, r e são verdadeiros para todo r. E é a magnitude do campo elétrico.
Agora vamos considerar a carga encerrada nesta superfície como uma função de r. Dentro da bola carregada, esta função é
$$ q_ {enc} (r) = \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 \ rho \ tag {2} $$
onde $ \ rho $ é a densidade de carga por volume. Fora da bola, não importa a distância em que você esteja, a carga incluída é sempre q (carga total). Combinando isso com (1) por meio da lei gaus como você afirmou, obtemos
$$ E (r) = \ frac {q} {4 \ pi \ epsilon r ^ 2} \ tag {3} $ $
fora da bola, e
$$ E (r) = \ frac {\ rho r} {3 \ epsilon} \ tag {4} $$
dentro dele. ($ \ rho = \ frac {q} {(4/3) \ pi a ^ 3} $ então sua segunda fórmula está correta.)
Se você usar uma bola condutora, todas as cargas serão distribuídas na superfície da bola, pois eles querem estar o mais longe possível uns dos outros. Como isso significa que não há mais carga em qualquer superfície fechada que você imaginar dentro da bola, isso significa que o campo e dentro é zero em todos os lugares. Fora da bola, a superfície de gauss conterá toda a carga novamente, portanto, de fora, a fórmula para o e-field será (3) novamente. Então você vê que, de fora, a bola carregada homogeneamente se parece exatamente com uma bola que só é carregada em sua superfície e também exatamente como o campo de uma carga pontual na origem com a mesma carga total.
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