Como descobrir se uma transformação é uma transformação canônica?
On Fevereiro 17, 2021 by adminTivemos alguns exemplos em que deveríamos calcular a Transformação canônica ( CT), mas nunca falamos realmente sobre uma condição que decide se uma transformação é canônica ou não.
Deixe-me dar um exemplo: Tivemos a transformação: $$ P = q \ cdot \ cot (p), \ qquad Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right). $$ Como posso ver se esta transformação é canônica ou não?
Você não precisa realizar o cálculo completo, mas talvez possa me dar uma dica do que preciso mostrar aqui?
Comentários
- Mais sobre CT: physics.stackexchange.com/q/69337/2451
Resposta
Existem três testes fáceis para verificar se uma transformação é canônica. Observe que algumas constantes multiplicativas podem aparecer em certos livros, dependendo da definição exata de transformação canônica.
Notação
Seja $ x = (p, q) $ as variáveis $ 2n $, e as variáveis transformadas sejam $ \ tilde {x} (x) = (\ tilde {p} (p, q), \ tilde {q} (p, q)) $.
O método do simplético jacobiano
Seja $ J = \ parcial \ tilde {x} / \ parcial x $ seja a matriz Jacobiana da transformação. Além disso, seja $ \ mathbb {E} $ uma matriz de bloco $ 2n \ vezes 2n $ $$ \ mathbb {E} = \ begin { pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \ end {pmatrix} $$
Então o a transformação é canônica se e somente se
$$ J \ mathbb {E} J ^ T = \ mathbb {E} $$
O método dos colchetes de Poisson
A transformação é canônica se e somente se os colchetes de Poisson fundamentais forem preservados
$$ \ {\ tilde {p} _i, \ tilde {p} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {q} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {p} _j \} = \ delta_ {ij} $$
O método da forma diferencial de Liouville
Isso é um pouco menos prático, mas eu o incluo para ser completo. A transformação é canônica se e somente se a forma diferencial $ \ sum_i p_i \ mathrm {d} q_i – \ sum_i \ tilde {p} _i \ mathrm {d} \ tilde {q} _i $ for fechada.
Comentários
- Você pode dar uma referência para o método do jacobiano simplético (de preferência um livro)? 🙂
Resposta
Dica: os colchetes de Poisson são invariantes canônicos, isto é
$$ \ {F, G \} _ {q, p} = \ {F, G \} _ {Q, P} $$
Comentários
- portanto, é suficiente mostrar que $ \ {Q, P \} _ {q, p} = 1 $?
- Sim; esta é a definição mais robusta de um TC. Como PBs são semelhantes a derivadas, ou seja, obedecem à regra da cadeia, você só precisa calcular dois termos, facilmente, para verificar a relação sobre a qual está perguntando.
Resposta
Outra maneira (um atalho prático) é tentar encontrar uma função geradora. Nesse caso, usaremos $ F_3 (Q, p) $, uma vez que $ Q $ e $ p $ parecem ser uma variável mais básica. As equações originais são equivalentes a \ begin {align} P & = q \, \ cot p \ tag {1} \\ q & = e ^ {- Q} \, \ sin p. \ tag {2} \ end {align} Eq. (1) é equivalente a \ begin {align} P = e ^ {- Q} \, \ cos p. \ tag {3} \ end {align}
Agora das Eqs. (2) e (3), podemos verificar prontamente que $ F_3 (Q, p) = e ^ {- Q} \ cos p $ satisfaz \ begin {align} P = – \ frac {\ partial F_3} {\ partial Q}, \ tag {4} \\ q = – \ frac {\ partial F_3} {\ partial p}. \ tag {5} \ end {align} Isso significa que a transformação dada é gerada por este $ F_3 (Q, p) $ e, portanto, é canônico.
Observe que a possível forma funcional de $ F_3 (Q, p) $ pode ser deduzido de uma abordagem de tentativa e erro. Nesse caso, integramos a Eq. (4), $$ F_3 = – \ int P \, dQ = – \ int e ^ {- Q} \ cos p \, dQ = e ^ {- Q} \ cos p, $$ e então verificou se satisfazia a Eq . (5).
Resposta
A resposta de Enucatl é bastante satisfatória. No entanto, no exemplo $$ P = q \ cot (p), $$ $$ Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right), $$ dado na pergunta, parece que há incompatibilidade dimensional.
O argumento dentro de $ \ cot $ deve ser algum $ [p / (p_o)] $ onde $ p_o $ tem dimensões de momento e o argumento do logaritmo deve ser $ $ q_o \ frac {\ sin (p / p “_o)} {q}, $$ $ p” _o $ não precisa ser igual a $ p_o $. Mesmo que P e Q não tenham dimensões de momento e comprimento respectivamente, isso pode não importar (bem conhecido como por qualquer caso geral de uma transformação canônica).
Estou curioso para saber se as operações para correspondência dimensional implícito (como o jeito da moda (que eu não gosto) de certos livros pegando $ c = 1 $ e chamando a energia relativística de uma partícula livre $ E = (m ^ 2 + p ^ 2) ^ {1/2} $ em vez de $ E = (m ^ 2 c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2) ^ {1/2} $ etc.).
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