Compreendendo a relação de dispersão
On Fevereiro 14, 2021 by adminEstou tentando entender o significado físico da relação de dispersão. É o quão não homogênea uma mídia é? Ou quanto os campos eletromagnéticos se propagam na mídia? Ou?
Resposta
A relação de dispersão expressa a relação entre o vetor de onda $ k $ e a freqüência $ \ omega $. A relação de dispersão assume a forma de uma relação funcional para $ \ omega (k) $ que não é, em geral, linear. Visto que $ \ omega / k $ é basicamente para a velocidade (fase) da onda, a relação de dispersão descreve a dependência da velocidade de fase no comprimento de onda.
O exemplo mais conhecido é a dispersão da luz por um prisma:
Uniforme se o prisma for de vidro homogêneo, o índice de refração do vidro varia em $ k $, levando à dispersão.
Em ondas mecânicas – como em uma corda ou no ar – a relação $ \ omega / k = $ constante é apenas uma aproximação de primeira ordem (na verdade, uma aproximação linear no sentido que a equação de onda associada é um PDE linear) e a verdadeira relação de dispersão é mais complicada. Por exemplo, a frequência de uma onda em uma corda é realisticamente relacionada ao vetor de onda por $$ \ omega ^ 2 = \ frac {T_0} {\ rho_0} k ^ 2 + \ alpha k ^ 4 + \ ldots \ tag { 1} $$ onde $ T_0 $ é a tensão na corda e $ \ rho_0 $ é a densidade linear da corda. O coeficiente $ \ alpha $ seria $ 0 $ se a corda fosse perfeitamente elástica. A Eq. (1) foi escrita para sugerir que é o início de uma expansão de Taylor em $ k ^ 2 $.
Assim, para responder especificamente à questão do OP: a dispersão não mede a falta de homogeneidade de um meio, mas sim a falta de linearidade simples entre $ \ omega $ e $ k $. É particularmente importante quando a onda não é monocromática, pois todos os comprimentos de onda se propagam em frequências ligeiramente diferentes, mesmo que o meio seja fisicamente homogêneo.
Como na física quântica a energia está relacionada a $ \ hbar \ omega $, a relação de dispersão captura algumas características físicas essenciais do problema. Por exemplo, a relação de dispersão da equação de Klein-Gordon é apenas (em unidades com $ \ hbar $ e $ c = 1 $) $$ \ omega ^ 2 = k ^ 2 + m ^ 2 $$ que apenas converte para o equação relativística bem conhecida $ E ^ 2 = p ^ 2 + m ^ 2 $.
Comentários
- A relação de dispersão da equação KdV contém a amplitude da onda (na verdade, a relação dela com a profundidade da água). Isso ' é a não linearidade, não o termo $ k ^ 3 $. Essa é simplesmente uma representação mais precisa da dispersão LINEAR.
- @NickP editei por consulte a Eq. (7) de whoi.edu/fileserver.do? id = 136524 & pt = 10 & p = 85713
- It ' É sempre uma boa ideia confiar em Grimshaw 🙂 Ele articula precisamente o que eu ' estou dizendo.
Resposta
Uma relação de dispersão informa como a frequência $ \ omega $ de uma onda depende de seu comprimento de onda $ \ lambda $ – no entanto, é matematicamente melhor usar o comprimento de onda inverso ou número de onda $ k = 2 \ pi / \ lambda $ ao escrever equações porque a velocidade da fase é
$ v _ {\ rm phase} \ \ = \ omega / k $
e a velocidade do grupo é
$ v _ {\ rm group} \ \ = d \ omega / dk $.
Isso se aplica a todos os tipos de ondas. Em relação às ondas eletromagnéticas no vácuo:
$ \ omega (k) = ck $
de modo que
$ v _ {\ rm fase} \ \ = v_ { \ rm group} \ \ = c $.
As ondas não têm dispersão. Em um meio, mesmo um meio homogêneo, como o vidro, o índice de refração aumenta com a frequência (no visível, é claro) de modo que a luz é dispersa pela cor.
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