Impedâncias complexas
On Fevereiro 16, 2021 by adminO que significa ter uma impedância complexa?
Por exemplo, a impedância de um capacitor (no domínio de Laplace ?) é dado por 1 / sC (acredito) que equivale a \ $ \ dfrac {1} {j \ cdot 2 \ pi \ cdot f \ cdot C} \ $ onde os transientes são desprezados. O que significa a impedância ser imaginária?
Estou atualmente no segundo ano de Engenharia Elétrica na Universidade, então, se possível, gostaria de receber uma resposta matematicamente válida e completa se for não muito problema, com a referência de material de estudo (recursos de web e papel) ideal.
Agradecemos antecipadamente.
Comentários
- Você ‘ não está estudando exatamente isso em seus cursos? Certamente você já tem um ou dois livros que abordam isso em detalhes. Este é um tópico muito amplo e difícil para responder sem uma pergunta mais específica.
- Um recurso adicional
- Os livros didáticos que pareço presumir que é já conhecido de cursos anteriores (e nós não ‘ t ensinamos isso). Além disso, meus professores embaralharam seus pedidos, então ‘ provavelmente será ensinado mais tarde, mas não antes de precisarmos.
- Parece que seu primo deixou muitos tópicos intocados e é ‘ muito inconveniente para um curso de engenharia …
Resposta
TL; DR A parte imaginária da impedência indica o reativo componente da impedância; isso é responsável (entre outros) pela diferença de fase entre a corrente e a tensão e a potência reativa usada pelo circuito.
O princípio subjacente é que qualquer sinal periódico pode ser tratado como a soma de (às vezes) ondas senoidais infinitas chamadas harmônicas, com frequências igualmente espaçadas. Cada um deles pode ser tratado separadamente, como um sinal próprio.
Para esses sinais, você usa uma representação semelhante a: $$ v (t) = V_ {0} \ cos (2 \ pi ft + \ phi) = \ Re \ {V_ {0} e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi} \} $$
E você pode ver que já saltamos no domínio do complexo números, porque você pode usar um exponencial complexo para representar a rotação.
Portanto, a impedância pode ser ativa (resistência) ou reativa (reatância); enquanto o primeiro, por definição, não afeta a fase dos sinais (\ $ \ phi \ $), a reatância afeta, então usando números complexos é possível avaliar a variação na fase que é introduzida pela reatância.
Então você obtém: $$ V = I \ cdot Z = I \ cdot | Z | \ cdot e ^ {j \ theta} $$
onde | Z | é a magnitude da impedância , dado por: $$ | Z | = \ sqrt {R ^ 2 + X ^ 2} $$
e theta é a fase introduzida pela impedância, e é dado por: $$ \ theta = \ arctan \ left (\ frac {X} {R} \ right) $$
Quando aplicado à função anterior, torna-se: $$ v (t) = \ Re \ {I_ {0} | Z | e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi + \ theta} \} = I_ {0} | Z | \ cos (2 \ pi ft + \ phi + \ theta) $$
Vamos considerar o capacitor ideal: sua impedância será \ $ \ frac {1} {j \ omega C} = – \ frac {j} {\ omega C} \ $ que é imaginário e negativo; se você coloque-o na circunferência trigonométrica, você obtém uma fase de -90 °, o que significa que com uma carga puramente capacitiva a tensão estará 90 ° atrás da corrente.
Então w hy?
Digamos que você queira somar duas impedâncias, 100 Ohm e 50 + i50 Ohm (ou, sem números complexos, \ $ 70,7 \ ângulo 45 ^ \ circ \ $). Então, com números complexos, você soma a parte real e imaginária e obtém 150 + i50 Ohm.
Sem usar números complexos, a coisa é bem mais complicada, pois você pode usar cossenos e senos (mas é o mesmo de usar números complexos então) ou entrar em uma confusão de magnitudes e fases. Depende de você :).
Teoria
Algumas noções adicionais, tentando abordar seu perguntas:
- A representação harmônica de sinais é geralmente tratada pela decomposição da série de Fourier :
$$ v (t) = \ sum _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {jnt}, \ text {onde} c_ {n} = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} v (t) e ^ {- jnt} \, dt $$
- O exponencial complexo está relacionado ao cosseno também pelo Fórmula de Euler :
$$ cos (x) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {-ix}} {2} $$
Comentários
- Muito obrigado pela sua resposta. Em relação à sua equação v (t), apenas para esclarecer, você quer dizer v (t) = v0 cos (2pi f0 t + phi) + v1 cos (2pi f1 t + phi) + … + vn cos (2pi fn t + phi) (uma vez que o sinal pode ser representado como um número possivelmente infinito de sinusóides de frequências diferentes)? Então, você deriva o termo R (V0 exp (j2pift + phi)) de cos (x) = 0,5 exp (ix) + 0,5 exp (-ix)? Se for esse o caso, para onde vai o termo de 0,5 exp (-2pift …)?Além disso, em sua ‘ equação da lei de Ohm, presumivelmente V (t) avalia uma expressão real, mas exp (j omega) não ‘ t, então como isso funciona? Obrigado novamente.
- MMH muitas perguntas :). Sobre o primeiro, não exatamente: verifique a representação da série de Fourier, mas em teoria também outras decomposições são possíveis; sobre o exponencial, sim, é ‘ é a equivalência de Eulero. O mesmo é verdade para a última pergunta: o exponencial complexo fornece a rotação, mas então ‘ s pega apenas a parte real.
- Uau que ‘ uma resposta rápida! Por que apenas a parte real é tomada? Isso não ‘ não parece matematicamente válido. Obrigado novamente.
- É isso que eu ‘ estou perdendo? ” Aexp (i omega) … é entendido como uma notação abreviada, codificando a amplitude e a fase de uma sinusóide subjacente. ” de en.wikipedia.org/wiki/Phasor#Definition . A ideia de que a representação do número complexo é uma abreviatura para a representação de um ângulo (fase) e uma magnitude?
- @JonaGik sim, é ‘ uma representação conveniente de sinais sinusoidais, como também diz a página wiki. Eu diria que todo objeto matemático é uma forma abreviada para representar ou resolver algum problema real …
Resposta
Tenho certeza que isso não vai responder inteiramente a sua pergunta, na verdade, espero que complemente as respostas já dadas que parecem negligenciar: o conceito por trás do uso de números complexos (que, como já foi dito, é apenas um nome extravagante para um tipo de “quantidade” matemática, se quiser).
A primeira questão principal aqui que devemos responder é por que os números complexos. E para responder a esta pergunta, precisamos entender a necessidade dos diferentes conjuntos de números, desde os naturais até os reais.
Desde as primeiras idades, os números naturais permitiam que as pessoas contassem, por exemplo, maçãs e laranjas em um mercado. Em seguida, os números inteiros foram introduzidos para abordar o conceito de “endividamento” por meio de números negativos (esse era um conceito difícil de entender na época). Agora, as coisas ficam mais interessantes com os números racionais e a necessidade de representar “quantidades” com frações. O interessante sobre esses números é que precisamos de dois inteiros, e não apenas um (como acontece com os números naturais e inteiros), por exemplo 3/8. Esta forma de representar “quantidades” é muito útil, por exemplo, para descrever o número de fatias (3) restantes em uma torta de 8 fatias, quando 5 já foram comidas 🙂 (você não poderia fazer isso com um inteiro!).
Agora, vamos pular os números irracionais e reais e ir para os números complexos. Os engenheiros eletrônicos enfrentaram o desafio de descrever e operar um tipo diferente de “quantidade”, a tensão senoidal (e a corrente) em um circuito linear (ou seja, feito de resistores, capacitores e indutores). Adivinha, eles descobriram que os números complexos eram a solução.
Os engenheiros sabiam que os sinusóides eram representados por 3 componentes, ou seja, A (amplitude), \ $ \ omega \ $ (frequência angular) e fase (\ $ \ phi \ $): $$ y (t) = A \ cdot sin (\ omega t + \ phi) $$
Eles também perceberam que em um circuito linear a frequência angular (\ $ \ omega \ $) não mudaria de nó para nó, ou seja, não importa em qual ponto do circuito você estivesse sondando, você só veria diferenças em termos de amplitude e fase, não de frequência. Eles então concluíram que a parte interessante (variável) de uma tensão (ou corrente) senoidal eram sua amplitude e fase. Portanto, assim como fazemos com os números racionais, precisamos de dois números para representar a tensão senoidal variável em um nó de circuito linear, neste caso (A, phi). Na verdade, eles perceberam que a álgebra dos números complexos, ou seja, a maneira como você opera e relaciona esses números entre si se encaixa como uma luva na maneira como os sinusóides são operados por circuitos lineares.
Então, quando você diz que o impedância de um capacitor é \ $ \ frac {1} {j \ omega C} \ $ ie, (A = 1 / C, phi = -90º) na notação adotada acima, você está realmente dizendo que a tensão está atrasada 90º em relação à fase atual. E, por favor, esqueça aquela nomenclatura “transcendental” sobre imaginário e complexo … na verdade, estamos falando de “quantidades” com dois componentes ortogonais (ou seja, “que não se misturam, não importa o quanto você os agite em uma xícara de coquetel “), assim como vetores, que representam dois aspectos físicos diferentes dos fenômenos.
ATUALIZAÇÃO
Há também algumas notas que recomendo a leitura, “Uma introdução à análise complexa para engenheiros”, de Michael D. Alder. Esta é uma abordagem muito amigável para o assunto. Em particular, recomendo o primeiro capítulo .
Resposta
Usar números complexos é uma forma matemática de representar componentes em fase e fora de fase – a corrente em relação a a tensão. Impedância imaginária não significa que a impedância não exista, significa que a corrente e a tensão estão defasadas uma com a outra. Da mesma forma, uma impedância real não significa real no sentido comum, apenas que a corrente está em fase com a tensão.
Comentários
- Eu entendo essas ideias conceitualmente, eu estava me perguntando como uma impedância complexa realmente funciona – qual é a razão matemática para ela ser complexa e como ela é derivada?
- @JonaGik onde minha resposta estava faltando? Eu pensei que estava respondendo esta razão matemática …
- Isso está certo? A ideia de que a representação do número complexo é uma abreviatura para a representação de um ângulo (fase) e uma magnitude? Então, quando interpretamos uma impedância complexa, a consideramos estar simplesmente representando o atraso de fase e a magnitude?
Resposta
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As descrições abaixo SEEK para desmitificar o que se entende por quantidades “complexas” em um contexto RCL. Os conceitos de componentes “imaginários” são uma metáfora útil que tende a cegar as pessoas para a simples realidade subjacente lidades. O texto abaixo fala em termos de RC e não toca nos mistérios de LC que, na verdade, não são mais misteriosos na realidade.
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Seria mais benéfico para você se esforçar ao máximo para abordar a maioria dos pontos levantados por si mesmo usando um livro-texto ou mecanismo de pesquisa da Internet antes de buscar explicações de outras pessoas, PORQUE esta questão é fundamental para os conceitos básicos de circuitos CA com componentes reativos. Lidar com questões difíceis estabelece uma precedência sobre como você lidará com coisas semelhantes ao longo de sua educação e a internet tem provavelmente milhões de páginas lidando com esse assunto (Gargoyle diz ~ = 11 milhões, mas quem pode saber?). O grau de detalhe e meticulosidade que você pede não é realista em um site como este, dada a grande quantidade de detalhes “lá fora”. (A menos que os proprietários do site estejam tentando replicar um subconjunto da Wikipedia).
ASSIM – Eu acho que ajudá-lo a entender o básico é uma boa ideia, para que você possa aprender a partir daí. Então …
Se você conectar um terminal de entrada a um resistor em série a um capacitor e o outro capacitor for “aterrado”, você obterá um circuito RC em série:
Vin – resistor – capacitor – terra.
Se você agora aplicar uma tensão de degrau à entrada, a corrente do capacitor se igualará, mas o capacitor começará a carregar usando essa tensão para produzir corrente no resistor. O aumento da tensão será exponencial porque a corrente fluindo para o capacitor será afetada por Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / Rseries. ou seja, à medida que Vcap aumenta, o potencial através do resistor cai e, portanto, a corrente diminui. Em teoria, levará um tempo infinito para Vcap chegar a Vin, mas na prática é mais ou menos “lá em cerca de 3 constantes de tempo onde
t = RC = o tempo que leva para Iin cair para 1 / e ésimo de seu valor inicial. O quê e por quê do termo 1 / e você já sabe ou fará depois de ler as referências.
AGORA, se aplicarmos um sinal de onda quadrada, o capacitor carregará como acima quando a entrada for positiva e irá descarregar de forma exponencial semelhante quando a entrada está aterrada ou negativa. Enquanto a corrente do capacitor seguirá Vin e será máxima quando Vin fizer a transição entre alto / baixo ou baixo alto, a tensão do capacitor, pelas razões descritas acima, ficará para trás do tensão de entrada. Uma vez que o estado estacionário foi alcançado, se você plotar Vcap e I cap, você encontrará duas formas de onda deslocadas em até quase 90 graus ou tão pouco quanto quase graus, onde um ciclo de entrada inteiro = 360 graus. Até que ponto a tensão do capacitor está atrasado em relação à sua corrente depende da frequência de entrada e do RC ti me constante.
Para os não iniciados, isso pode parecer mágica (ou o uso de tiotimolina *), com uma forma de onda atual ocorrendo até 1/4 de um ciclo antes de sua voltagem, MAS isso é apenas porque a lógica A razão para isso, conforme explicado acima, não é necessariamente intuitivamente óbvia na inspeção.
Se você começar a combinar capacitores, resistores e indutores de várias maneiras, precisará ser capaz de lidar matematicamente com as fases relativas das várias formas de onda. [Na primeira introdução, pode parecer que os fasores estão configurados para atordoar].
Alguns cálculos competentes, ou uma olhada rápida em alguns dos 10 milhões ou mais de páginas da web sobre o assunto, indicarão que onde você têm duas formas de onda que variam na relação de fase entre si e que são baseadas em uma relação exponencial mútua, então cada forma de onda pode ser representada por uma representação polar da forma [R, Theta] que em termo pode ser representada como um número complexo que tem componentes X e Y que refletem a forma polar.
O “vetor” polar que representa a relação entre tensão e corrente em uma determinada situação usa uma “metáfora” de braço vetorial giratório que fornece o comprimento do braço e o ângulo de fase em relação a uma referência. Esta “metáfora” pode ser substituída por um componente X e Y onde a magnitude da forma polar é dada por R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) e cujo ângulo theta é dado por tan ^ -1 (X / Y ) Isso pode ser visto na forma esquemática abaixo.
AVISO – não se deixe enganar pela terminologia.
Observe que o termo “número complexo” é simplesmente Jargão. O uso de sqrt (-1) é uma parte útil da metáfora que permite que a aritmética funcione MAS as quantidades reais envolvidas são inteiramente reais e “comuns”. Quando elementos reativos como indutores e capacitores são usados, a energia não será mais simplesmente o produto dos termos de magnitude no vetores de voltagem e corrente, ou seja, a potência de V.sin (fred) x I.sin (Josepine) não (normalmente) = VI. Isso não implica em nada de especial ou mágico ou complexo ou imaginário sobre as variáveis envolvidas – é apenas que eles são variantes de tempo e suas magnitudes de pico geralmente não coincidem.
Leitura extra – altamente recomendada:
Calculadora de impedância complexa
- I Asimov.
Comentários
- @Kortuk – A grande maioria dos itens acima foram escritos antes da minha inicial resposta escrita, mas eu não a postei naquela fase, mas ela pode ter sido adicionada no devido tempo, quando melhor verificada. Como você deve saber, muitas vezes adiciono grandes parcelas de material às postagens iniciais. No caso dele, sua abordagem de incentivo e bastão (sem incentivo) foi bastante desmotivadora, mas parece uma pena permitir que estilos motivacionais mal direcionados atinjam seus efeitos mais normais. Alguns respondem bem o suficiente a punhos suaves ao redor da orelha, mas não a maioria, eu ‘ descobri. Alguns aqui discordam :-).
Resposta
Expressar capacitância e indutância como resistências imaginárias tem a vantagem de que você pode usar métodos bem conhecidos de resolução de problemas lineares com resistores para resolver problemas lineares com resistores, capacitores e indutores.
Esses problemas lineares e seus métodos bem conhecidos são, por exemplo,
- Problema: calcular a resistência de dois resistores em série
Método: R = R1 + R2
também pode ser usado para calcular a impedância do resistor / capacitor / indutor em série com outro resistor / capacitor / indutor -
Problema: calcular a resistência de dois resistores em paralelo
Método: R = R1 * R1 / (R1 + R2)
também pode ser usado para calcular a impedância do resistor / capacitor / indutor em paralelo com outro resistor / capacitor / indutor -
Problema: resolvendo uma rede contendo resistores, tensão DC e fontes de corrente DC
Método: resolver um sistema simultâneo de equações lineares
também podem ser usadas para resolver uma rede contendo resistores, capacitores, indutores, tensão CA ou CC e fontes de corrente CA ou CC - etc.
Todas as fórmulas / métodos que funcionam com valores reais de resistência (apenas resistentes) e fontes DC funcionam tão bem com valores complexos (resistores, indutores, capacitores) e fontes AC.
Resposta
Embora não haja necessariamente nenhuma razão intuitiva para usar números complexos para representar uma combinação de sinais em fase e fora de fase, isso Acontece que as regras aritméticas para números complexos se encaixam muito bem no comportamento real e na interação de resistores, capacitores e indutores.
Um número complexo é a soma de duas partes: a parte real e uma parte “imaginária “parte, que pode ser representada por um número real multiplicado por i , que é definido como a raiz quadrada de -1. Um número complexo pode ser escrito na forma A + Bi , sendo A e B números reais. Pode-se então usar as regras da aritmética polinomial para agir sobre números complexos, tratando i como uma variável, mas também pode substituir i ² por -1 (por exemplo, o produto de Pi × Qi é -P × Q).
Em qualquer frequência particular, pode-se determinar como uma rede de resistores, indutores e capacitores se comportará calculando a impedância efetiva de cada item e, em seguida, usando a lei de Ohm para calcular a resistência efetiva de combinações em série e paralelas, e as tensões e correntes através delas.Além disso, como resistores, capacitores e indutores são todos dispositivos lineares, pode-se calcular como a rede se comportará quando combinações de frequências forem injetadas, calculando o que farão com cada frequência específica e, em seguida, adicionando os resultados. A aritmética complexa pode ser muito útil ao tentar analisar o comportamento de coisas como filtros, uma vez que permite calcular a saída do filtro como uma função da entrada. Alimentado um sinal de entrada de algum número real v volts em alguma frequência f , pode-se calcular a tensão ou corrente em qualquer nó particular; a parte real estará em fase com a forma de onda injetada e a parte imaginária estará 90 graus fora de fase. Em vez de ter que usar equações diferenciais extravagantes para resolver o comportamento do circuito, pode-se aritmética relativamente básica com números complexos.
Resposta
Números complexos são usados em engenharia elétrica para grandezas que possuem magnitude e fase. A impedância elétrica é a relação entre a corrente e a tensão. Para correntes e tensões AC, as formas de onda de corrente e tensão podem não estar em fase; a fase da impedância informa essa diferença de fase.
Comentários
- Por que o voto negativo?
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