Origem das variáveis conjugadas nas teorias físicas
On Fevereiro 16, 2021 by adminPor que as variáveis conjugadas vêm em pares? Por exemplo, na mecânica clássica temos as coordenadas generalizadas de posição e momento, e há as coordenadas do ângulo de ação de Jacobi. Além disso, nas equações termodinâmicas fundamentais, todas as quantidades relevantes aparecem em pares, ou seja, volume e pressão, entropia e temperatura, número de partículas e potencial químico. Certamente, um argumento dimensional pode ser feito para saber por que queremos esses pares (para que eles forneçam unidades de energia, etc …), mas estou procurando um argumento conceitual sobre por que variáveis conjugadas venham em pares.
Peço desculpas se esta pergunta for mal colocada.
Comentários
- Talvez relacionados à sua pergunta sejam as Relações recíprocas do Onsager entre fluxos generalizados e forças que podem realmente ser derivadas dos primeiros princípios.
- Relacionado: physics.stackexchange.com/q/18280/2451
Resposta
Esta pode ser a melhor resposta considerando seus exemplos anteriores (posição e impulso) e os últimos exemplos (volume e pressão, etc.) separadamente. Veja esta pergunta para saber por que estou considerando isso separadamente.
O primeiro conjunto de exemplos (alguns da mecânica hamiltoniana) tem suas raízes em Dualidades de Pontryagin . A prova desse conceito é um pouco detalhada, mas basicamente se resume a tentar encontrar as condições nas quais $ \ mathcal {F} (\ mathcal {F} (f)) $ é equivalente a $ f $ em algum sentido. Acontece que isso vale para todos os grupos abelianos compactos. E também, por acaso, posição é o dual Pontryagin de momento, e vice-versa.
O segundo conjunto de exemplos (da termodinâmica) surge quando olhamos para as distribuições de equilíbrio na termodinâmica. Nesse caso, não há nada de “especial” sobre essas variáveis que vêm em pares. Por exemplo, considere a equação de energia interna para um conjunto canônico, relacionando-a com entropia (S), volume (V), temperatura (T) e pressão (p):
$$ \ mathrm {d } U = T \, \ mathrm {d} Sp \, \ mathrm {d} V $$ Você pode ver que temperatura e pressão são apenas as “constantes de proporcionalidade” das mudanças na entropia e no volume nesta equação. Quanto ao motivo pelo qual as mudanças na temperatura impulsionam as mudanças na entropia (transferência de calor), é por causa da segunda lei da termodinâmica que busca aumentar a entropia do sistema mais o banho. Quando o sistema é levado ligeiramente para fora do equilíbrio, por exemplo, aumentando $ T $ do banho em uma quantidade muito pequena, alguma quantidade de entropia é trocada e o sistema se equilibra novamente.
Há um tipo diferente da relação entre temperatura e calor, digamos, e posição / momento. Embora o momento e a posição generalizados estejam relacionados por equações diferenciais recíprocas, o mesmo não é verdade para a temperatura e o calor.
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