Por que a equação do vetor de excentricidade sempre é igual a -1?
On Fevereiro 13, 2021 by adminEsta é a equação do vetor de excentricidade, $$ e = \ frac {1} {\ mu} [( v ^ 2 – {\ mu \ over r}) r- (r \ cdot v) v] $$ $$ e = | e | $$ Agora, esta equação foi escrita de forma diferente a partir de muitas fontes diferentes, mas elas significam essencialmente a mesma coisa. Tentei essa equação e, independentemente dos valores que dei às variáveis, a resposta é sempre -1 (ou 1 em termos absolutos). Eu entendo que a excentricidade de uma parábola é 1, mas esta equação é para elipses também. Então, por que a resposta é sempre -1? Estou esquecendo de algo? Agradecemos antecipadamente.
Comentários
Resposta
A expressão à direita destina-se a fornecer a excentricidade vetor , mas a notação vetorial foi perdida.
Aqui está esta resposta :
$$ e = {v ^ 2 r \ over {\ mu}} – {(r \ cdot v) v \ over {\ mu}} – {r \ over {\ left | r \ right |}} $$
e a natureza do vetor também não é clara. Devemos escrevê-lo como
$$ \ mathbf {e} = {v ^ 2 \ mathbf {r} \ over {\ mu}} – {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}} – {\ mathbf {r} \ over {r}} $$
onde a face em negrito representa vetores e $ v = | \ mathbf {v} | $ e $ r = | \ mathbf { r} | $ , ou como
$$ \ mathbf {e} = {| \ mathbf {v} | ^ 2 \ mathbf {r } \ over {\ mu}} – {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}} – {\ mathbf {r} \ over {\ left | \ mathbf {r} \ right |}} $$
Na expressão $ (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} $ o termo $ \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v} $ é um produto escalar vetorial e retorna um escalar , que então multiplica o vetor $ \ mathbf {v} $ .
Aqui está um cálculo rápido para confirmá-lo. Eu escolhi $ \ mu = 1 $ e $ a = 1 $ de modo que o período orbital seja $ 2 \ pi $ . Você pode ver que o vetor de excentricidade x componente é +0,8 e constante, e o componente y é 0,0 Isso confirma que o vetor de excentricidade sempre aponta para a direção do periapsia e sua magnitude é sempre igual a a excentricidade escalar, que neste caso é 0,8
Script Python:
def deriv(X, t): x, v = X.reshape(2, -1) acc = -x * ((x**2).sum())**-1.5 return np.hstack((v, acc)) import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import odeint as ODEint halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)] e = 0.8 peri = 1. - e apo = 1. + e vperi = np.sqrt(2./peri - 1.) # vis-viva equation X0 = np.array([peri, 0] + [0, vperi]) times = np.linspace(0, twopi, 201) answer, info = ODEint(deriv, X0, times, full_output=True) r, v = answer.T.reshape(2, 2, -1) vsq = (v**2).sum(axis=0) rabs = np.sqrt((r**2).sum(axis=0)) evec = vsq*r - (r*v).sum(axis=0) * v - r/rabs if True: x, y = r plt.figure() plt.subplot(2, 1, 1) plt.plot(x, y) plt.plot([0], [0], "oy", markersize=16) # the Sun plt.xlim(-2, 0.5) plt.ylim(-1.25, 1.25) plt.subplot(4, 1, 3) plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("x, y", fontsize=16) plt.subplot(4, 1, 4) x, y = evec plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("evec_x, evec_y", fontsize=16) plt.show()
Comentários
- Os comentários não são para discussão estendida; esta conversa foi movido para o bate-papo .
- @uhoh Só para esclarecer, o produto escalar do vetor sempre será 0 em uma órbita circular, certo? Porque o ângulo entre onde minha velocidade está me levando e o raio é sempre 90 graus. E em uma órbita elíptica, o produto escalar do vetor é 0 em apoapsis e periapsis.
- @StarMan yep that ' é verdadeiro. Para uma circular órbita, ou para qualquer periapsia e a apoapsis de uma elipse, $ \ mathbf {v} \ cdot \ ma thbf {r} $ será zero. Como uma verificação rápida: para um círculo com $ e = 0 $, se o 2º termo à direita for zero, você tem $ 0 = v ^ 2 r / mu – 1 $ que dá $ v ^ 2 = mu / r $ que é a equação vis-viva para uma órbita circular onde $ r = a $.
+1
para uma pergunta realmente boa! Eu ' estou escrevendo uma resposta agora, deve levar cerca de 20 minutos …