Por que assumimos que o spinor $ \ Psi $ de Dirac descreve a partícula, não o campo?
On Fevereiro 13, 2021 by adminÉ um fato bem conhecido que Klein-Gordon escalar $ \ Psi (x) $, $$ (\ partial ^ {2} + m ^ 2) \ Psi (x) = 0 $$ assim como 4 vetores $ A _ {\ mu} (x) $, $$ (\ parcial ^ {2} + m ^ {2}) A _ {\ mu} = 0, \ quad \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0, $$ (e até mesmo a função de um spin inteiro arbitrário) descreve o campo: primeiro, não há norma definida positiva (com integral de espaço total invariante de Lorentz ) para essas funções, e a segunda, as soluções livres são representadas na forma de osciladores harmônicos independentes, como no caso do campo eletromagnético clássico. Portanto, naturalmente assumimos relações de comutação para os operadores de amplitude desses campos.
Então vamos ter a equação de Dirac e a função correspondente (em geral – vamos ver a função do spin de meio-inteiro arbitrário). Vamos supor também que não sabemos que ela descreve alguma partícula. Podemos construir norma definida positiva (com integral de espaço total invariante de Lorentz), e a solução para campo também se parece com osci harmônico llator. Mas para definido positivo de energia devemos assumir relações de anticomutação.
Então, a questão: por que assumimos que o spinor $ \ Psi $ de Dirac (ou, em geral, tensores de um spin arbitrário) descreve apenas o partícula, não o campo? Em minha opinião, o fato da norma definida positiva deixa a possibilidade de descrição do campo por esse spinor (não a partícula).
Minha pergunta não é sobre a definição formal dessas funções. Claro, todos eles são campos relativísticos. Mas eles descrevem diferentes objetos físicos no limite clássico – campos e partículas correspondentemente. A função de Maxwell $ A _ {\ mu} $ descreve o campo EM mesmo no limite clássico, mas o spinor de Dirac $ \ Psi $ descreve o elétron apenas no caso quântico (quando os postulados QM funcionam).
Comentários
- Corrija-me se eu estiver enganado, mas o spinor de Dirac $ \ Psi (\ mathbf x, t) $ não é uma função de campo definida nas coordenadas do espaço-tempo? Esta função não fornece probabilidade de posição da partícula ou partículas no significado clássico da palavra (como na interpretação de Born ‘ de Schroedinger ‘ s equação não relativística). Na teoria quântica de campos, é um campo de operador abstrato.
- @J á nLalinsk ý: seu comentário é muito útil. Eu acho que a resposta é a seguinte. Sim, de acordo com a definição do campo relativístico como função que determinou no espaço minkowskiano sua primeira afirmação é verdadeira. Mas minha pergunta é sobre que objeto físico essa função descreve, não sobre o status matemático da função. Quanto às próximas afirmações, podemos assumir campos livres, então não ‘ nem precisamos quantizar o campo e, portanto, não assumimos a teoria quântica de campos (opera apenas com QM relativístico).
- Acho que duas estruturas estão misturadas em sua pergunta, ambas as soluções KG e Dirac foram usadas pela primeira vez como uma extensão da primeira estrutura de quantização e ambas descrevem partículas / ondas de probabilidade nesta estrutura: bósons para KG e férmions para Dirac. A segunda quantização é uma estrutura / visão matemática diferente que transforma as soluções em operadores de criação e aniquilação. Ele funciona no cálculo de cruzamentos, etc., mas não é particularmente útil na visualização / ajuste de ” partículas dentro / partículas fora “. Tendemos a manter a estrutura da primeira quantização ao descrever interações específicas.
- ” Mas minha pergunta é sobre que objeto físico esta função descreve, não sobre o status matemático da função. ” Essa é uma pergunta muito boa! Talvez ajudasse se você pudesse adicioná-lo à pergunta original. Eu ‘ também estou curioso sobre as respostas.
Resposta
Em QFT, o spinor de Dirac também será promovido a um campo, cujos coeficientes de modo de oscilação são operadores de criação e aniquilação.
MAS: Para o spinor de Dirac é possível bem- definir uma densidade de probabilidade e corrente:
$$ \ rho ^ \ mu \ propto \ bar \ psi \ gamma ^ \ mu \ psi $$
Este componente zero atual é definido positivo e usando a equação de Dirac pode-se mostrar que ele é conservado, ou seja, $ \ partial_ \ mu \ rho ^ \ mu \ equiv 0 $.
Portanto, além de ser interpretado como um campo quântico, o Dirac spinor pode ser interpretado como uma função de onda de partícula em QM regular.
Deixe-me lembrá-lo, porém, que os valores próprios de energia do operador de Dirac não são limitados por baixo. Isso não é tão problemático, se concordarmos com o conceito de que o mar de elétrons de Dirac já ocupa todos os e negativos estados energéticos.Embora a construção do mar de Dirac seja muito ondulante, ela fornece uma previsão chave: a criação do par partícula-antipartícula a partir de “energia pura” (ou seja, um fóton).
Comentários
- ” … o spinor de Dirac pode ser interpretado como uma função de onda de partícula em QM regular … “, – mas pode ser interpretado como função de onda de campo em QM regular, como $ A _ {\ mu} $?
- Não tenho certeza do que você quer dizer com ” função de onda de campo ” em QM regular. Ou você tem uma teoria quântica de campo (que não é QM regular) ou você tem partículas quânticas e campos clássicos (onde não há conceito como uma ” função de onda de campo “).
- @Neuneck Sua fórmula para $ \ rho ^ \ mu $ é a do campo KG! O do campo Dirac envolve matrizes $ \ gamma ^ \ mu $! Por favor corrija. Na verdade, a situação é muito semelhante à da complexa equação KG. Nesse caso, a energia é limitada abaixo, enquanto a carga conservada não é positiva (com sinal definido). No entanto, se considerarmos apenas soluções que são sobreposições de modos de frequência positiva, a carga é positiva e a energia é limitada abaixo. Para a equação de Dirac, considerando apenas soluções de frequência positiva, tanto a energia quanto a carga são positivas (com sinal definido).
- Obrigado, eu corrigi. Para o campo KG, nenhuma razão física para apenas olhar para os modos de frequência positiva está disponível no QM regular. Para a equação de Dirac – já que estamos lidando com férmions – uma vez que os estados de energia negativa tenham sido ocupados, não há como uma partícula reduzir sua energia decaindo em um modo de cada posição inferior. Para bósons, essa exclusão não existe.
- Então, eu entendi corretamente a: equação de Dirac fora de QFT pode descrever uma partícula, enquanto a equação de Klein-Gordon não pode por causa do sinal indefinido de ” norma ” de suas soluções? (Eu não sou o OP)
Deixe uma resposta