Solução de canto do problema de maximização
On Fevereiro 18, 2021 by adminResposta
Olá, eu carrego a pergunta real com minha resposta de 8 páginas. Por favor, você pode verificar. Existe uma dissolução de canto para $ c = \ gamma $ . Por favor, compartilhe suas idéias. Obrigado.
Comentários
- Postado no X: math.stackexchange.com/q/3405439/339790
- Como você sabe que existe ' uma solução de canto?
- @Art nothing. Eu apenas resolvo suas soluções de interiores. Mas aprendi que também preciso encontrar suas soluções de canto. Mas eu não sei (nenhuma ideia) sobre como encontrar uma solução de canto. Você pode me ajudar?
- Não ´ temos aqui uma equação como uma restrição, $ h + l = T $?
- Esta é potencialmente uma ótima pergunta, mas atualmente eu ' estou votando para fechar esta questão como fora do tópico porque ela não segue a política do site sobre trabalho doméstico: " Não publique meramente um scan ou imagem de toda a questão, nem de sua tentativa de resposta. Digite sua pergunta e o trabalho que você ' realizou para tentar respondê-la, como texto. "
Resposta
Aqui está a formulação do problema: \ begin {eqnarray *} \ max_ {c, h, l} \ & \ ln (c – \ gamma) + \ beta l + \ theta h \\ \ text {st} & l + h = 1, \\ & c \ leq \ omega h + \ rho, \\ \ text {e} & l, h \ geq 0, c \ geq \ gamma \ end {eqnarray *}
Substituindo $ l = 1 – h $ , podemos reescrever o problema acima como: \ begin {eqnarray *} \ max_ {c, h} \ & \ ln (c – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {st} & 0 \ leq h \ leq 1 \\ \ text {e} & \ gamma \ leq c \ leq \ omega h + \ rho \ end {eqnarray *}
Uma vez que a utilidade está aumentando em $ c $ , $ c = \ omega h + \ rho $ manterá em ótimo estado. Portanto, podemos reduzir ainda mais o problema para:
\ begin {eqnarray *} \ max_ {h} \ & \ ln (\ omega h + \ rho – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {st} & 0 \ leq h \ leq 1 \\ \ text {and} & \ gamma \ leq \ omega h + \ rho \ end {eqnarray *}
Observe que vamos presumir $ \ omega + \ rho \ geq \ gamma $ . Isso ocorre porque quando $ \ omega + \ rho < \ gamma $ , não há solução viável. Em outras palavras, não existe nenhum $ h $ satisfazendo as restrições.
Para resolver este problema, consideraremos dois casos:
- Caso 1 : $ \ rho \ geq \ gamma $
Neste caso, o problema pode ser escrito como:
\ begin {eqnarray *} \ max_ {h} \ & \ ln (\ omega h + \ rho – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {s.t.} & 0 \ leq h \ leq 1 \ end {eqnarray *}
Derivada do objetivo em relação à $ h $ é $ \ frac {\ omega} {\ omega h + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) $ que produz a seguinte solução:
\ begin {eqnarray *} h = \ begin {cases} 1 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ omega + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ geq 0 \\ 0 & \ texto {if} \ frac {\ omega} {\ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ leq 0 \\ \ frac {1} {\ beta – \ theta} – \ frac {\ rho – \ gamma} {\ omega} & \ text {caso contrário} \ end {cases} \ end {eqnarray *}
- Caso 2 : $ \ rho < \ gamma $
Neste caso, o problema pode ser escrito como:
\ begin {eqnarray *} \ max_ {h} \ \ ln (\ omega h + \ rho – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {st} & \ frac {\ gamma – \ rho} {\ omega} \ leq h \ leq 1 \ end {eqnarray *}
Derivada do objetivo em relação à $ h $ é $ \ frac {\ omega} {\ omega h + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) $ que produz a seguinte solução:
\ begin {eqnarray *} h = \ begin {cases} 1 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ omega + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ geq 0 \\ \ frac {1} {\ beta – \ theta} – \ frac {\ rho – \ gamma} {\ omega} & \ text {caso contrário} \ end {cases} \ end {eqnarray *}
Combinando os dois casos, podemos escrever a solução como:
\ begin {eqnarray *} h = \ begin {cases} 1 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ omega + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ geq 0 \\ 0 & \ text {if } \ frac {\ omega} {\ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ leq 0 \ text {e} \ rho \ geq \ gamma \\ \ frac {1} {\ beta – \ theta} – \ frac {\ rho – \ gamma} {\ omega} & \ text {caso contrário} \ end {cases} \ end {eqnarray *}
Usando $ c = \ omega h + \ rho $ e $ l = 1 -h $ podemos obter os valores ideais de $ c $ e $ l $ em cada um dos casos.
Comentários
- Não sei como agradecer à Knopf !! Você é o melhor e sua solução é tão inteligente e perfeita !! Obrigado mais uma vez Amit
Resposta
A solução de canto não é $ c = a $ não pode ser porque a utilidade marginal, mesmo de uma pequena porção de consumo, não tem limites. No entanto, você pode ter uma solução de canto onde $ h = 0 $ . Como o agente tem renda não proveniente do trabalho $ p $ , a linha do orçamento tem uma dobra. Ou seja, se o agente recebe muita renda mesmo sem trabalhar, ele pode optar por não trabalhar, usufruindo plenamente do lazer.
Depois de resolver o $ l $ , $ c $ e $ h $ Tenho certeza de que o $ h $ ideal é definido pela diferença entre dois termos. Como você não pode trabalhar em horas negativas, a solução de canto ocorre sempre que sua equação para $ h $ fica negativa.
Se você não tem certeza do que quero dizer, simplesmente atualize sua pergunta com as fórmulas reais que você obteve, posso fornecer mais comentários e orientá-lo para encontrar a solução de canto.
Comentários
- Sim, não consegui encontrar para $ c = a $. Mas, alguém diz que existe. Posso carregar minha solução escrevendo à mão? Porque a solução é muito longa e minha escrita é muito legível e boa. Você aceita querido Regio?
- @ user315 " Posso carregar minha solução escrevendo à mão? " Sim, você pode fazer isso editando sua pergunta.
- Muito obrigado …
- @callculus eu carreguei. Por favor verifique isto. E por favor me diga se está correto ou não. Muito obrigado.
- @Regio Eu adicionei minha solução.
Deixe uma resposta