Solução de canto do problema de maximização

Aqui está a formulação do problema: \ begin {eqnarray *} \ max_ {c, h, l} \ & \ ln (c – \ gamma) + \ beta l + \ theta h \\ \ text {st} & l + h = 1, \\ & c \ leq \ omega h + \ rho, \\ \ text {e} & l, h \ geq 0, c \ geq \ gamma \ end {eqnarray *}

Substituindo $ l = 1 – h $ , podemos reescrever o problema acima como: \ begin {eqnarray *} \ max_ {c, h} \ & \ ln (c – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {st} & 0 \ leq h \ leq 1 \\ \ text {e} & \ gamma \ leq c \ leq \ omega h + \ rho \ end {eqnarray *}

Uma vez que a utilidade está aumentando em $ c $ , $ c = \ omega h + \ rho $ manterá em ótimo estado. Portanto, podemos reduzir ainda mais o problema para:

\ begin {eqnarray *} \ max_ {h} \ & \ ln (\ omega h + \ rho – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {st} & 0 \ leq h \ leq 1 \\ \ text {and} & \ gamma \ leq \ omega h + \ rho \ end {eqnarray *}

Observe que vamos presumir $ \ omega + \ rho \ geq \ gamma $ . Isso ocorre porque quando $ \ omega + \ rho < \ gamma $ , não há solução viável. Em outras palavras, não existe nenhum $ h $ satisfazendo as restrições.

Para resolver este problema, consideraremos dois casos:

• Caso 1 : $ \ rho \ geq \ gamma $

Neste caso, o problema pode ser escrito como:

\ begin {eqnarray *} \ max_ {h} \ & \ ln (\ omega h + \ rho – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {s.t.} & 0 \ leq h \ leq 1 \ end {eqnarray *}

Derivada do objetivo em relação à $ h $ é $ \ frac {\ omega} {\ omega h + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) $ que produz a seguinte solução:

\ begin {eqnarray *} h = \ begin {cases} 1 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ omega + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ geq 0 \\ 0 & \ texto {if} \ frac {\ omega} {\ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ leq 0 \\ \ frac {1} {\ beta – \ theta} – \ frac {\ rho – \ gamma} {\ omega} & \ text {caso contrário} \ end {cases} \ end {eqnarray *}

• Caso 2 : $ \ rho < \ gamma $

Neste caso, o problema pode ser escrito como:

\ begin {eqnarray *} \ max_ {h} \ \ ln (\ omega h + \ rho – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {st} & \ frac {\ gamma – \ rho} {\ omega} \ leq h \ leq 1 \ end {eqnarray *}

Derivada do objetivo em relação à $ h $ é $ \ frac {\ omega} {\ omega h + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) $ que produz a seguinte solução:

\ begin {eqnarray *} h = \ begin {cases} 1 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ omega + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ geq 0 \\ \ frac {1} {\ beta – \ theta} – \ frac {\ rho – \ gamma} {\ omega} & \ text {caso contrário} \ end {cases} \ end {eqnarray *}

Combinando os dois casos, podemos escrever a solução como:

\ begin {eqnarray *} h = \ begin {cases} 1 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ omega + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ geq 0 \\ 0 & \ text {if } \ frac {\ omega} {\ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ leq 0 \ text {e} \ rho \ geq \ gamma \\ \ frac {1} {\ beta – \ theta} – \ frac {\ rho – \ gamma} {\ omega} & \ text {caso contrário} \ end {cases} \ end {eqnarray *}

Usando $ c = \ omega h + \ rho $ e $ l = 1 -h $ podemos obter os valores ideais de $ c $ e $ l $ em cada um dos casos.

Comentários

• Não sei como agradecer à Knopf !! Você é o melhor e sua solução é tão inteligente e perfeita !! Obrigado mais uma vez Amit

A solução de canto não é $ c = a $ não pode ser porque a utilidade marginal, mesmo de uma pequena porção de consumo, não tem limites. No entanto, você pode ter uma solução de canto onde $ h = 0 $ . Como o agente tem renda não proveniente do trabalho $ p $ , a linha do orçamento tem uma dobra. Ou seja, se o agente recebe muita renda mesmo sem trabalhar, ele pode optar por não trabalhar, usufruindo plenamente do lazer.

Depois de resolver o $ l $ , $ c $ e $ h $ Tenho certeza de que o $ h $ ideal é definido pela diferença entre dois termos. Como você não pode trabalhar em horas negativas, a solução de canto ocorre sempre que sua equação para $ h $ fica negativa.

Se você não tem certeza do que quero dizer, simplesmente atualize sua pergunta com as fórmulas reais que você obteve, posso fornecer mais comentários e orientá-lo para encontrar a solução de canto.

Comentários

• Sim, não consegui encontrar para $ c = a $. Mas, alguém diz que existe. Posso carregar minha solução escrevendo à mão? Porque a solução é muito longa e minha escrita é muito legível e boa. Você aceita querido Regio?
• @ user315 " Posso carregar minha solução escrevendo à mão? " Sim, você pode fazer isso editando sua pergunta.
• Muito obrigado …
• @callculus eu carreguei. Por favor verifique isto. E por favor me diga se está correto ou não. Muito obrigado.
• @Regio Eu adicionei minha solução.