Câmp electric în afara și în interiorul unei sfere
On decembrie 31, 2020 by adminO sferă izolatoare de rază a poartă o sarcină totală $ q $ care este distribuită uniform peste volumul sferei.
Încerc să găsesc distribuția câmpului electric atât în interiorul, cât și în exteriorul sferei folosind legea Gauss.
Știm că pe suprafața gaussiană închisă cu distribuție de sarcină simetrică sferic, legea Gauss afirmă : $ \ frac {q} {ε_0} = \ oint \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} $
- În afara sferei: În mod logic, sarcina în afara unei sfere va fi să fie întotdeauna pe suprafața Gaussiană și nu se schimbă, deci câmpul electric în afara unei sfere: $ E = \ frac {q} {4πε_0r ^ {2}} $
- În interiorul sferei: Deoarece sarcina este distribuită simetric pe suprafață și dacă imaginez o mică sferă cu raza r în interiorul sferei cu raza r, mica sferă va avea o sarcină mai mică pe suprafața sa. $ E = \ frac {q \ r} {4πε_0a ^ {3}} $
Este suficientă această explicație?
Care ar fi diferența dacă am un sfera conducătoare?
Răspuns
Când se utilizează formula Gauss, q nu este sarcina distribuită pe suprafață, este sarcina închis de sfera ta gaussiană. În interiorul sferei, sarcinile sunt distribuite uniform pe întregul volum nu pe suprafață. Acest lucru înseamnă că atunci când luați în considerare interiorul izolatorului, trebuie să luați în considerare cât volum ați închis cu sfera Gaussiană și apoi câtă încărcare este în interiorul acelui volum folosind distribuția sarcinii.
Răspuns
Poate că aveți o ușoară neînțelegere a legii Gauss. Se afirmă că integrala produsului scalar al vectorilor câmpului electric cu vectorii normali ai suprafeței închise, integrată pe toată suprafața, este egală cu sarcina totală închisă în interiorul suprafeței (de câte ori constantă). Acest lucru este valabil nu numai pentru o suprafață sferică, ci și pentru orice suprafață închisă. În acest caz, o suprafață sferică este foarte convenabilă, deoarece datorită simetriei câmpului electric, vectorii de câmp vor fi întotdeauna paraleli cu vectorii normali ai suprafeței. Ceea ce înseamnă că
$$ \ oint \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} = E * 4 \ pi * r ^ 2 \ tag {1} $$
Aici, atât stânga cât și partea dreaptă a ecuației sunt o funcție a distanței de la origine, r și sunt adevărate pentru toate r. E este magnitudinea câmpului electric.
Acum să luăm în considerare sarcina închisă în această suprafață ca o funcție a lui r. În interiorul mingii încărcate, această funcție este
$$ q_ {enc} (r) = \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 \ rho \ tag {2} $$
unde $ \ rho $ este densitatea de încărcare pe volum. În afara mingii, indiferent la ce distanță vă aflați, taxa inclusă este întotdeauna doar q (sarcina totală). Combinând acest lucru cu (1) prin legea gaus așa cum ați spus-o, obținem
$$ E (r) = \ frac {q} {4 \ pi \ epsilon r ^ 2} \ tag {3} $ $
în afara mingii și
$$ E (r) = \ frac {\ rho r} {3 \ epsilon} \ tag {4} $$
în interiorul acestuia. ($ \ rho = \ frac {q} {(4/3) \ pi a ^ 3} $, deci a doua formulă este corectă.)
Dacă folosiți o minge conducătoare, toate taxele vor fi distribuite pe suprafața mingii, deoarece vor să fie cât mai departe unul de celălalt cât pot. Deoarece acest lucru înseamnă că nu mai există nicio încărcătură în orice suprafață închisă pe care ți-o imaginezi în interiorul mingii, aceasta înseamnă că câmpul electronic din interior este zero peste tot. În afara mingii, suprafața gauss va conține din nou întreaga sarcină, astfel încât din afara formulei pentru câmpul e va fi (3) din nou. Deci, vedeți că din exterior, bila încărcată omogen arată exact ca o bilă încărcată doar pe suprafața sa și, de asemenea, exact ca câmpul unei sarcini punctuale la origine cu aceeași sarcină totală.
Lasă un răspuns