Cum se obține derivata unei distribuții normale w.r.t parametrii săi?
On februarie 13, 2021 by adminÎn mod normal, calculăm derivata densității normale w.r.t parametrii, media și varianța acestuia. Dar putem calcula derivata distribuției normale wrt parametrii (nu variabila, știu că derivata wrt variabilei dă densitatea)? Dacă da, cum îl calculăm?
Răspuns
Aplicați doar regula lanțului pentru diferențiere . CDF $ F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) $ al unei $ N (\ mu, \ sigma ^ 2) $ variabilă aleatorie $ X $ este $ \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) $ și deci $$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) = \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ frac {-1} {\ sigma} = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ right] $$ unde $ \ phi (x) $ este standardul densitatea normală și cantitatea dintre paranteze pătrate în expresia din dreapta de mai sus pot fi recunoscute ca densitatea de $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ 2) $.
Voi părăsi calculul derivat în ceea ce privește $ \ sigma $ sau $ \ sigma ^ 2 $ pentru a vă rezolva singur.
Comentarii
- @indumann Am nu idee de ce ați dori să utilizați " tabele normale " pentru a găsi valoarea numerică a derivatului $ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu } { \ sigma} \ right) \ right] $ deoarece derivatul are o formulă simplă cunoscută . Da, cărțile mai vechi de tabele precum Abramowitz și Stegun au tabele cu valorile funcției densității normale, dar în zilele noastre, cu " științific " fiind atât de ușor disponibile ca să nu mai vorbim de R și MATLAB și Python și Excel și …, evaularea derivatului este ușoară.
- Mă întreb ce a găsit astfel downvoterul respingător în legătură cu răspunsul meu.
Răspuns
Este „un calcul simplu. Amintiți-vă că o integrală (care este funcția de probabilitate cumulativă) este în esență o sumă. Deci, o derivată a unei sume este aceeași cu o sumă de derivate. Prin urmare, pur și simplu diferențiați funcția (adică densitatea) sub integrală și o integrați. Aceasta a fost versiunea mea bastardizată a teorema fundamentală a calculului, pe care unii nu i-au plăcut aici.
Iată cum ați face-o cu probabilitatea normală. În primul rând, relația generală pentru funcția de probabilitate $ F (x; \ mu, \ sigma) $ și densitatea $ f (x; \ mu, \ sigma) $ unde media și abaterea standard sunt parametrii: $$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} \ int _ {- \ infty} ^ xf (x; \ mu, \ sigma ) dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} f (x; \ mu, \ sigma) dx $$
De fapt, ați folosit un formă mai generală a acestei manipulări numită regula Leibnitz când ați menționat că diferențierea funcției de probabilitate de variabila însăși (adică $ \ frac {\ partial} {\ partial x} $) vă va oferi densitatea (PDF).
Apoi, conectați densitatea: $$ = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ partial} {\ partial \ mu } \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {2 ( x- \ mu)} {\ sigma ^ 2} \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx $$
Schimbarea variabilelor $ \ xi = \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2} $: $$ = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma } \ left (- \ int_0 ^ \ infty e ^ {- \ xi} d \ xi + \ int_ {0} ^ {\ xi (x)} e ^ {- \ xi} d \ xi \ right) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} \ left (-1- (e ^ {- \ xi (x)} – 1) \ right) $$ $$ = – \ frac {e ^ {- \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2}}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} $$
Prin urmare, aveți următoarele: $$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = – f (x ; \ mu, \ sigma) $$
Puteți face un truc similar cu varianța.
Comentarii
- @dilipsarwate Mulțumiri. Asta înseamnă că trebuie să caut tabelele normale pentru a obține o valoare.drept?
- Din păcate, nu este în general adevărat că " derivatul unei sume este la fel ca o sumă a [derivatelor]. "
- Din păcate, rezultatului final îi lipsește un semn negativ (apare corect în formula de mai sus). Dar rezultatul este greșit și în alt mod. În acest moment, voi evalua acest răspuns în așteptarea corectării erorilor și, probabil, a unei re-scrieri a primului paragraf.
- Nu, încă incorect. Greseala începe imediat după ce spui " Apoi, conectează densitatea " și se propagă de acolo.
Lasă un răspuns