Derivarea modificării variabilelor unei funcții de densitate a probabilității?
On februarie 9, 2021 by adminÎn cartea recunoașterea modelelor și învățarea automată (formula 1.27), oferă
$$ p_y (y) = p_x (x) \ left | \ frac {d x} {d y} \ right | = p_x (g (y)) | g „(y) | $$ unde $ x = g (y) $, $ p_x (x) $ este fișierul pdf care corespunde cu $ p_y (y) $ în ceea ce privește modificarea variabilei.
Cărțile spun că „pentru că observațiile care se încadrează în intervalul $ (x, x + \ delta x) $ vor fi, pentru valori mici de $ \ delta x $, transformate în intervalul $ (y, y + \ delta y) $.
Cum se derivă acest lucru în mod formal?
Actualizare de la Dilip Sarwate
Rezultatul este valabil numai dacă $ g $ este o funcție strict crescătoare sau descrescătoare monotonă.
Unele modificări minore în LV Răspunsul lui Rao $$ \ begin {ecuație} P (Y \ le y) = P (g (X) \ le y) = \ begin {cases} P (X \ le g ^ {- 1} (y)) , & \ text {if} \ g \ text {crește monoton}} \\ P (X \ ge g ^ {- 1} (y)), & \ text {if} \ g \ text {scade monoton}} \ end {cases} \ end {ecuație} $ $ Prin urmare, dacă $ g $ crește monoton $$ F_ {Y} (y) = F_ {X} (g ^ {- 1} (y)) $$ $$ f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) $$ dacă scade monoton $$ F_ {Y} (y) = 1-F_ {X} (g ^ {- 1} (y)) $$ $$ f_ { Y} (y) = – f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) $$ $$ \ prin urmare f_ {Y } (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ left | \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ right | $$
Comentarii
- Rezultatul este valabil doar dacă $ g $ este o funcție strict crescătoare sau descrescătoare monotonă. Desenați un grafic de $ g $ și descărcați-l folosind idee de bază din spatele definiției derivatului (nu definiției formale cu epsilon și delta). De asemenea, există un răspuns de @whuber pe acest site care explică detaliile ; adică acest lucru ar trebui închis ca duplicat.
- Explicația cărții dvs. ' amintește de cea pe care am oferit-o la stats.stackexchange.com/a/14490/919 . Am postat, de asemenea, o metodă algebrică generală la stats.stackexchange.com/a/101298/919 și o explicație geometrică la stats.stackexchange.com/a/4223/919 .
- @DilipSarwate mulțumesc pentru explicație, cred că înțeleg intuiția, dar eu ' sunt mai interesat de modul în care poate fi derivat folosind regulile și teoremele existente 🙂
Răspuns
Să presupunem că $ X $ este o variabilă continuă aleatorie cu pdf
f (x). Dacă definim $ Y = g (X) $, unde g () este o funcție monotonă, atunci pdf
al lui $ Y $ se obține după cum urmează: \ begin {eqnarray *} P (Y \ le y) & = & P (g (X) \ le y) \\ & = & P (X \ le g ^ {- 1} (y)) \\ or \; \; F_ {Y} (y) & = & F_ {X} (g ^ {- 1} (y)), \ quad \ mbox {după definiția CDF} \\ \ end {eqnarray *} Prin diferențierea CDF-urilor de pe ambele părți wrt $ y $, obținem pdf-ul de $ Y $. Funcția g () ar putea fi fie monotonică în creștere, fie monotonă în scădere. Dacă funcția g () crește monoton, atunci pdf-ul de $ Y $ este dat de \ begin {ecuația *} f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ end {ecuație *} și, de altă parte, dacă este monoton descrescător, atunci pdf-ul de $ Y $ este dat de \ begin {ecuație *} f_ {Y} (y) = – f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ end {ecuație *} mai sus de două ecuații pot fi combinate într-o singură ecuație: \ begin {ecuație *} \ prin urmare f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot | \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) | \ end {equation *}
Comentarii
- Dar, deoarece integrala peste fx trebuie să însumeze 1 și fy este o versiune la scară a fx, nu ' t care înseamnă că fy nu este un pdf adecvat, cu excepția cazului în care jacobianul din abs () este 1 sau -1?
- @Chris The Jacobian of $ g ^ {-1} $ nu este neapărat o funcție constantă, deci poate fi > 1 în unele locuri și < 1 în altele.
- Cred că derivarea de mai sus este incorectă. Când $ g (.) $ Scade monoton, $ g (X) \ le y \ implică X \ ge g ^ {- 1} (y) $. Semnul minus nu apare în mod magic.
- Semnul minus provine din faptul că inegalitatea este schimbată pentru transformări în scădere monotonă
Lasă un răspuns