Înțelegerea relației de dispersie
On februarie 14, 2021 by adminÎncerc să înțeleg semnificația fizică a relației de dispersie. Este cât de neomogen este un media? Sau cât de mult s-au răspândit câmpurile electromagnetice în mass-media? Sau?
Răspuns
relația de dispersie exprimă relația dintre vectorul de undă $ k $ și frecvența $ \ omega $. Relația de dispersie ia forma unei relații funcționale pentru $ \ omega (k) $ care nu este, în general, liniară. Deoarece $ \ omega / k $ este în esență viteza (de fază) a undei, relația de dispersie descrie dependența vitezei de fază de lungimea de undă.
Cel mai cunoscut exemplu este dispersia luminii prin o prismă:
Chiar dacă prisma este realizată din sticlă omogenă, indicele de refracție al sticlei variază cu $ k $, ducând la dispersie.
În unde mecanice – ca pe un șir sau în aer – relația $ \ omega / k = $ constantă este doar o aproximare de ordinul întâi (într-adevăr o aproximare liniară în sens că ecuația de undă asociată este un PDE liniar) și adevărata relație de dispersie este mai complicată. De exemplu, frecvența unei unde pe un șir este legată în mod realist de vectorul undei de $$ \ omega ^ 2 = \ frac {T_0} {\ rho_0} k ^ 2 + \ alpha k ^ 4 + \ ldots \ tag { 1} $$ unde $ T_0 $ este tensiunea din șir și $ \ rho_0 $ este densitatea liniară a șirului. Coeficientul $ \ alpha $ ar fi $ 0 $, iar șirul a fost perfect elastic. Ecuația (1) este scrisă pentru a sugera că este începutul unei expansiuni Taylor în $ k ^ 2 $.
Astfel, pentru a răspunde în mod specific la întrebarea OP: dispersia nu măsoară lipsa de omogenitate a unui mediu, ci mai degrabă lipsa de liniaritate simplă între $ \ omega $ și $ k $. Este deosebit de important atunci când unda nu este monocromatică, deoarece toată lungimea de undă se va propaga la frecvențe ușor diferite, chiar dacă mediul este fizic omogen.
Deoarece în fizica cuantică energia este legată de $ \ hbar \ omega $, relația de dispersie surprinde unele trăsături fizice esențiale ale problemei. De exemplu, relația de dispersie a ecuației Klein-Gordon este doar (în unități cu $ \ hbar $ și $ c = 1 $) $$ \ omega ^ 2 = k ^ 2 + m ^ 2 $$ care tocmai se transformă în binecunoscută ecuație relativistă $ E ^ 2 = p ^ 2 + m ^ 2 $.
Comentarii
- Relația de dispersie a ecuației KdV conține amplitudinea undei (de fapt raportul dintre aceasta și adâncimea apei). Aceasta ' este neliniaritatea, nu termenul $ k ^ 3 $. Aceasta este pur și simplu o reprezentare mai precisă a dispersiei LINEARE.
- @NickP I editat de a se vedea ecuația (7) din whoi.edu/fileserver.do? id = 136524 & pt = 10 & p = 85713
- Este ' este întotdeauna o idee bună să ai încredere în Grimshaw 🙂 El exprimă exact ceea ce spun ' spun.
Răspuns
O relație de dispersie vă spune cum frecvența $ \ omega $ a unei unde depinde de lungimea ei de undă $ \ lambda $ – cu toate acestea, este matematic mai bine să folosiți lungimea de undă inversă sau numărul de undă $ k = 2 \ pi / \ lambda $ când scrieți ecuații, deoarece viteza de fază este
$ v _ {\ rm phase} \ \ = \ omega / k $
iar viteza grupului este
$ v _ {\ rm group} \ \ = d \ omega / dk $.
Acestea se aplică tuturor tipurilor de unde. În ceea ce privește undele electromagnetice în vid:
$ \ omega (k) = ck $
astfel încât
$ v _ {\ rm phase} \ \ = v_ { \ rm group} \ \ = c $.
Undele sunt fără dispersie. Într-un mediu, chiar și un mediu omogen, cum ar fi sticla, indicele de refracție crește cu frecvența (în vizibil, desigur), astfel încât lumina este dispersată de culoare.
Lasă un răspuns