Soluția din colț a problemei de maximizare

Iată formularea problemei: \ begin {eqnarray *} \ max_ {c, h, l} \ & \ ln (c – \ gamma) + \ beta l + \ theta h \\ \ text {st} & l + h = 1, \\ & c \ leq \ omega h + \ rho, \\ \ text {și} & l, h \ geq 0, c \ geq \ gamma \ end {eqnarray *}

Înlocuind $ l = 1 – h $ , putem rescrie problema de mai sus ca: \ begin {eqnarray *} \ max_ {c, h} \ & \ ln (c – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {st} & 0 \ leq h \ leq 1 \\ \ text {și} & \ gamma \ leq c \ leq \ omega h + \ rho \ end {eqnarray *}

Deoarece utilitatea crește în $ c $ , $ c = \ omega h + \ rho $ va rămâne optim. Deci, putem reduce problema în continuare la:

\ begin {eqnarray *} \ max_ {h} \ & \ ln (\ omega h + \ rho – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {st} & 0 \ leq h \ leq 1 \\ \ text {and} & \ gamma \ leq \ omega h + \ rho \ end {eqnarray *}

Rețineți că vom presupune $ \ omega + \ rho \ geq \ gamma $ . Acest lucru se datorează faptului că atunci când $ \ omega + \ rho < \ gamma $ , nu există nicio soluție fezabilă. Cu alte cuvinte, nu există $ h $ satisfacerea constrângerilor.

Pentru a rezolva această problemă, vom lua în considerare două cazuri:

• Cazul 1 : $ \ rho \ geq \ gamma $

În acest caz problema poate să fie scris ca:

\ begin {eqnarray *} \ max_ {h} \ & \ ln (\ omega h + \ rho – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {s.t.} & 0 \ leq h \ leq 1 \ end {eqnarray *}

Derivată a obiectivului în raport cu $ h $ este $ \ frac {\ omega} {\ omega h + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) $ care produce următoarea soluție:

\ begin {eqnarray *} h = \ begin {cases} 1 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ omega + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ geq 0 \\ 0 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ leq 0 \\ \ frac {1} {\ beta – \ theta} – \ frac {\ rho – \ gamma} {\ omega} & \ text {altfel} \ end {cases} \ end {eqnarray *}

• Cazul 2 : $ \ rho < \ gamma $

În acest caz problema poate fi scrisă ca:

\ begin {eqnarray *} \ max_ {h} \ \ ln (\ omega h + \ rho – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {st} & \ frac {\ gamma – \ rho} {\ omega} \ leq h \ leq 1 \ end {eqnarray *}

Derivată a obiectivului în raport cu $ h $ este $ \ frac {\ omega} {\ omega h + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) $ care produce următoarea soluție:

\ begin {eqnarray *} h = \ begin {cases} 1 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ omega + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ geq 0 \\ \ frac {1} {\ beta – \ theta} – \ frac {\ rho – \ gamma} {\ omega} & \ text {altfel} \ end {cases} \ end {eqnarray *}

Combinând cele două cazuri, putem scrie soluția ca:

\ begin {eqnarray *} h = \ begin {cases} 1 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ omega + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ geq 0 \\ 0 & \ text {if } \ frac {\ omega} {\ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ leq 0 \ text {și} \ rho \ geq \ gamma \\ \ frac {1} {\ beta – \ theta} – \ frac {\ rho – \ gamma} {\ omega} & \ text {altfel} \ end {cases} \ end {eqnarray *}

Utilizarea $ c = \ omega h + \ rho $ și $ l = 1 -h $ putem obține valori optime de $ c $ și $ l $ în fiecare dintre cazuri.

Comentarii

• Nu i-am mulțumit lui Knopf !! Ești cel mai bun și soluția ta este atât de inteligentă și perfectă !! Mulțumesc din nou Amit

Soluția de colț nu este $ c = a $ nu poate fi, deoarece utilitatea marginală chiar și a unui mic consum de consum este nelimitată acolo. Cu toate acestea, puteți avea o soluție de colț în care $ h = 0 $ . Deoarece agentul are venituri fără muncă $ p $ , linia bugetară are o problemă. Adică, dacă agentul primește o mulțime de venituri chiar și fără să lucreze, poate alege să nu lucreze și să se bucure pe deplin de timpul liber.

După rezolvarea pentru $ l $ optim, $ c $ și $ h $ Sunt sigur că $ h $ optim este definit de diferența dintre doi termeni. Deoarece nu puteți lucra ore negative, soluția de colț apare ori de câte ori ecuația dvs. pentru $ h $ devine negativă.

Dacă nu sunteți sigur la ce mă refer, pur și simplu actualizați-vă întrebarea cu formulele reale pe care le-ați obținut, vă pot oferi comentarii suplimentare și vă pot îndruma să găsiți soluția de colț.

Comentarii

• Da, nu am putut găsi pentru $ c = a $. Dar, cineva spune că există. Îmi pot încărca soluția prin scriere manuală? Deoarece soluția este prea lungă și scrierea mea este foarte lizibilă și bună. Acceptați drag Regio?
• @ user315 " Pot să-mi încărc soluția prin scriere manuală? " Da, puteți face acest lucru editând întrebarea dvs.
• Mulțumesc mult …
• @callculus pe care l-am încărcat. Te rog verifica. Și vă rog să-mi spuneți dacă este corect sau nu. Mulțumesc mult.
• @Regio Am adăugat soluția mea.