Variația acțiunii modificate a lui Einstein Hilbert
On februarie 17, 2021 by adminÎn relativitate generală se pot deriva ecuațiile de câmp ale Einstein prin principiul acțiunii minime prin variații cu privire la inversul metricei tensor. În unele teorii ale gravitației modificate, cum ar fi teoria Brans-Dicke, un câmp scalar este adăugat la acțiunea Einstein Hilbert și constanta gravitațională este înlocuită de o funcție a câmpului scalar. Nu știu foarte bine cum să deriv ecuațiile de câmp din această acțiune, mai exact partea în care câmpul scalar este atașat la Scara Ricci $ \ phi R $.
Acțiunea Brans-Dicke este $$ S_ {BD} = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [\ frac {1} {16 \ pi} \ left (\ phi R – \ frac {\ omega} {\ phi} g ^ {ab } \ partial _a \ phi \ partial _b \ phi \ right) + L_M \ right]. $$
Ecuația câmpului rezultat este $$ G_ {ab} = \ frac {8 \ pi} {\ phi} T_ {ab} + \ frac {\ omega} {\ phi ^ 2} (\ partial_a \ phi \ partial_b \ phi- \ frac {1} {2} g_ {ab} \ partial_c \ phi \ partial ^ c \ phi) + \ frac {1} {\ phi} (\ nabla_a \ nabla_b \ phi-g_ {ab} \ Box \ phi). $$
De asemenea, doresc să deriv o nouă ecuație de câmp pentru practică . Deci întrebările mele sunt:
-
Cum se derivă ecuațiile mișcării?
-
Cum se efectuează variația următoarei acțiuni ? $$ S = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [\ frac {1} {16 \ pi G} R – \ phi (\ nabla _ {\ mu} g_ {ab} \ nabla _ {\ nu} g_ {ab}) – 2 \ Lambda + L_M) \ right] $$
Scalarul Ricci, constanta cosmologică și materia Lagrangiană vor varia simplu ca Einstein Acțiune Hilbert către: $$ \ delta S = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [\ frac {1} {\ kappa} \ left (R_ {ab} – \ frac {1} {2} Rg_ {ab} + \ Lambda g_ {ab} \ right) -T_ {ab} \ right] \ delta g ^ {ab}. $$ Ce zici de termenul suplimentar? S-ar varia pur și simplu în raport cu $ \ phi $ sau este necesară și variația derivatei covariante a tensorului metric? Dacă acesta din urmă este adevărat, atunci variația acestui termen suplimentar ar fi $$ \ frac {\ partial L} {\ partial g_ {ab}} – \ partial _ \ mu \ frac {\ partial L} {\ partial (\ nabla _ {\ mu} g_ {ab})} = 0. $$ Orice ajutor ar fi apreciat. Apropo, este $ \ nabla _ {\ mu} g_ {ab} \ nabla _ {\ nu} g_ {ab} $ o expresie care arată rata de schimbare (derivată) a tensorului metric față de o coordonată $ (t , x, y, z) $?
Comentarii
- De obicei, fără torsiune, alegeți conexiunea (unică), cum ar fi $ \ nabla_ \ mu g_ {ab} = 0 $, vezi această întrebare PSE
- Intuiția de bază care stă la baza teoriei Brans-Dicke ar trebui să fie ” Ce se întâmplă dacă înlocuim constanta $ G $ a lui Newton ‘ cu un câmp scalar $ \ phi $? (Sau, în funcție de religia dvs., $ \ phi ^ {- 1} $?) ” … toate celelalte rezultă din asta.
- Chiar și cu torsiune încă primiți $ \ nabla_ \ mu g_ {ab} = 0 $. ‘ ai nevoie și de tensorul de non-metricitate pentru a-l face altceva, care este destul de puțin folosit.
Răspuns
Găsiți mai jos răspunsul la întrebarea 1. Întrebarea 2. este ciudată, deoarece $ \ nabla_ \ mu g _ {\ alpha \ beta} = 0 $ (când conexiunea este compatibilă cu valoarea metrică), așa cum este menționat de @Trimok. În orice caz, variația acțiunii poate fi derivată folosind metoda descrisă mai jos.
Începem cu acțiunea BD $$ S = \ frac {1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} \ left [\ phi R – \ frac {\ omega} {\ phi} g ^ {\ mu \ nu} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] + S_M $$ unde $ S_M $ este acțiunea materie. Pentru a determina ecuațiile de câmp ale lui Einstein, vom varia acțiunea wrt la metrică. Vom folosi formulele (ref. wikipedia ) \ begin {ecuație} \ begin {split} \ delta R = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + \ nabla_ \ sigma \ left (g ^ {\ mu \ nu} \ delta \ Gamma ^ \ sigma _ {\ mu \ nu} – g ^ {\ mu \ sigma} \ delta \ Gamma ^ \ rho _ {\ rho \ mu} \ right) \ end {split} \ end {ecuație} Variația tensorului Christoffel este \ begin {ecuație} \ begin {split} \ delta \ Gamma ^ \ lambda _ {\ mu \ nu} & = \ delta g ^ {\ lambda \ rho} g _ {\ rho \ alpha} \ Gamma ^ \ alpha _ {\ mu \ nu} + \ frac {1} {2} g ^ {\ lambda \ rho} \ left (\ partial_ \ mu \ delta g _ {\ nu \ rho} + \ partial_ \ nu \ delta g_ {\ mu \ rho} – \ partial_ \ rho \ delta g _ {\ mu \ nu} \ right) \\ & = \ frac {1} {2} g ^ {\ lambda \ rho} \ left (\ nabla_ \ mu \ delta g _ {\ nu \ rho} + \ nabla_ \ nu \ delta g _ {\ mu \ rho} – \ nabla_ \ rho \ delta g _ {\ mu \ nu} \ right ) \\ & = – \ frac {1} {2} \ left (g _ {\ nu \ alpha} \ nabla_ \ mu \ delta g ^ {\ alpha \ lambda} + g _ {\ mu \ alpha} \ nabla_ \ nu \ delta g ^ {\ alpha \ lambda} – g _ {\ mu \ alpha} g _ {\ nu \ beta} \ nabla ^ \ lambda \ delta g ^ {\ alpha \ beta} \ right) \ end { split} \ end {ecuație} unde am folosit $ \ delta g _ {\ mu \ nu} = – g _ {\ mu \ alpha} g _ {\ nu \ beta} \ delta g ^ {\ alpha \ beta} $.Aceasta implică \ begin {ecuație} \ begin {split} g ^ {\ mu \ nu} \ delta \ Gamma ^ \ sigma _ {\ mu \ nu} & = – \ nabla_ \ alpha \ delta g ^ {\ alpha \ sigma} + \ frac {1} {2} g _ {\ alpha \ beta} \ nabla ^ \ sigma \ delta g ^ {\ alpha \ beta} \\ g ^ {\ mu \ sigma} \ delta \ Gamma ^ \ lambda _ {\ lambda \ mu} & = – \ frac {1} {2} g _ {\ alpha \ beta} \ nabla ^ \ sigma \ delta g ^ {\ alpha \ beta} \ end {split} \ end {ecuație} care implică \ begin {ecuație} \ begin {split} \ delta R = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} – \ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ end {split} \ end {ecuație} În sfârșit, din 1 , avem și $$ \ delta \ sqrt {-g} = – \ frac {1} {2} \ sqrt { -g} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} $$ În cele din urmă, suntem gata să calculăm variația acțiunii. Avem \ begin {ecuație} \ begin {split} \ delta S & = \ frac {1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ delta \ sqrt {- g} \ left [\ phi R – \ frac {\ omega} {\ phi} g ^ {\ mu \ nu} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] \\ & ~~~~~~~~~~~~ + \ frac {1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} \ left [\ phi \ delta R – \ frac {\ omega} {\ phi} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] + \ delta S_M \\ & = – \ frac {1} {32 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} g _ {\ mu \ nu} \ left [\ phi R – \ frac {\ omega} {\ phi } g ^ {\ alpha \ beta} \ partial_ \ alpha \ phi \ partial_ \ beta \ phi \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} + \ int d ^ 4 x \ frac {\ delta S_M} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \\ & ~~~~~~~~~~~~ + \ frac { 1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} \ left [\ left (\ phi R _ {\ mu \ nu} – \ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi + g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ phi \ right) – \ frac {\ omega} {\ phi} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ end {split} \ end {ecuație} Necesitând variația fișierului acțiunea dispare (la ordinea principală în $ \ delta g ^ {\ mu \ nu} $) dă \ begin {ecuație} \ begin {split} G _ {\ mu \ nu} & = – \ frac {16 \ pi} {\ phi \ sqrt {-g}} \ frac {\ delta S_M} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}} + \ frac {\ omega} {\ phi ^ 2 } \ left [\ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi – \ frac {1} {2} g _ {\ mu \ nu} \ partial_ \ alpha \ phi \ partial ^ \ alpha \ phi \ right] + \ frac {1} {\ phi} \ left [\ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi – g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ phi \ right] \ end {split} \ end {ecuație} Reamintim că tensorul de tensiune este definit ca \ begin {ecuație} \ begin {split} T _ {\ mu \ nu} = – \ frac {2} {\ sqrt {-g}} \ frac {\ delta S_M} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}} \ end {split} \ end {equation} Astfel \ begin {equation} \ begin {split} G _ {\ mu \ nu} & = \ frac {8 \ pi} {\ phi} T _ {\ mu \ nu} + \ frac {\ omega} {\ phi ^ 2} \ left [\ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi – \ frac {1 } {2} g _ {\ mu \ nu} \ partial_ \ alpha \ phi \ partial ^ \ alpha \ phi \ right] + \ frac {1} {\ phi} \ left [\ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi – g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ phi \ right] \ end {split} \ end {ecuație} care este ecuația Brans-Dicke.
Comentarii
- Văd cum să o fac acum. În ceea ce privește a doua întrebare, termenul suplimentar devine pur și simplu zero, deoarece derivata covariantă a tensorului metric este zero? Deci acțiunea devine acum familiara Acțiune Einstein-Hilbert?
- Așa ‘ este corect.
- Cum demonstrezi $ \ delta \ sqrt {-g} = – \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} $? Nu pot urmări intrarea Wikipedia … $$ \ delta \ sqrt {-g} = – \ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} \ delta g = – \ frac {1} {2 \ sqrt { -g}} gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} = – \ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} \ sqrt {-g} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} = – \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} \ neq \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} $$ Dar eroarea de semn?
- @BreakingM_a_t Rețineți că, prin definiție $ \ delta g = \ det (g + \ delta g) – \ det g = \ det g \ [\ det (1 + g ^ {- 1} \ delta g) – 1 \] $. Acum, pentru a calcula $ \ det (1 + g ^ {- 1} \ delta g) $ la ordinea principală în $ \ delta g $, folosim identitatea $ \ log \ det M = \ text {tr} \ log M $. Apoi, avem $ \ det (1 + M) = \ exp \ log \ det (1 + M) = \ exp \ text {tr} \ log (1 + M) = \ exp [\ text {tr} (M + {\ cal O} (M ^ 2))] = \ exp (\ text {tr} M) + {\ cal O} (M ^ 2) = 1 + \ text {tr} M + {\ cal O} (M ^ 2) $.
- @BreakingM_a_t Aceasta implică $ \ delta g = \ det g \ text {tr} (g ^ {- 1} \ delta g) = \ det gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} $. Astfel, găsim că $ \ delta \ sqrt {- g} = – \ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} \ delta g = – \ frac {1} {2 \ sqrt {- g}} gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} = \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} $.
Lasă un răspuns