Förstå dispersionsrelationen
On februari 14, 2021 by adminJag försöker förstå den fysiska innebörden av dispersionsrelationen. Är det hur inhomogent ett media är? Eller hur mycket de elektromagnetiska fälten sprids i media? Eller?
Svar
dispersionsrelationen uttrycker förhållandet mellan vågvektorn $ k $ och frekvensen $ \ omega $. Dispersionsrelationen har formen av en funktionell relation för $ \ omega (k) $ som i allmänhet inte är linjär. Eftersom $ \ omega / k $ i grunden är till (fas) hastigheten för vågen, beskriver dispersionsförhållandet beroendet av fashastigheten på våglängden.
Det mest kända exemplet är dispersionen av ljus genom ett prisma:
Even om prismen är gjord av homogent glas varierar brytningsindexet för glas med $ k $, vilket leder till dispersion.
I mekaniska vågor – som i en sträng eller i luften – är förhållandet $ \ omega / k = $ konstant bara en första ordnings approximation (faktiskt en linjär approximation i betydelsen att den associerade vågekvationen är en linjär PDE) och den verkliga dispersionsrelationen är mer komplicerad. Till exempel är frekvensen för en våg på en sträng realistiskt relaterad till vågvektorn av $$ \ omega ^ 2 = \ frac {T_0} {\ rho_0} k ^ 2 + \ alpha k ^ 4 + \ ldots \ tag { 1} $$ där $ T_0 $ är spänningen i strängen och $ \ rho_0 $ är strängens linjära densitet. Koefficienten $ \ alpha $ skulle vara $ 0 $ är strängen perfekt elastisk. Motsvarande (1) är skriven för att föreslå att det är början på en Taylor-expansion i $ k ^ 2 $.
Således för att specifikt svara på frågan om OP: dispersion mäter inte bristen på homogenitet hos ett medium utan snarare brist på enkel linjäritet mellan $ \ omega $ och $ k $. Det är särskilt viktigt när vågen inte är monokromatisk, eftersom all våglängd kommer att fortplantas vid något olika frekvenser, även om mediet är fysiskt homogent.
Eftersom energin i kvantfysik är relaterad till $ \ hbar \ omega $, fångar dispersionsrelationen några väsentliga fysiska egenskaper hos problemet. Till exempel är dispersionsförhållandet för Klein-Gordon-ekvationen bara (i enheter med $ \ hbar $ och $ c = 1 $) $$ \ omega ^ 2 = k ^ 2 + m ^ 2 $$ som bara omvandlas till välkänd relativistisk ekvation $ E ^ 2 = p ^ 2 + m ^ 2 $.
Kommentarer
- Dispersionsförhållandet för KdV-ekvationen innehåller vågens amplitud (faktiskt förhållandet mellan den och vattendjupet). Att ' är ickelinjäriteten, inte termen $ k ^ 3 $. Det är helt enkelt en mer exakt representation av LINEAR-dispersion.
- @NickP Jag redigerade av se ekv. (7) av whoi.edu/fileserver.do? id = 136524 & pt = 10 & p = 85713
- Det ' är alltid en bra idé att lita på Grimshaw 🙂 Han artikulerar precis vad jag ' säger.
Svar
En spridningsrelation berättar hur frekvensen $ \ omega $ för en våg beror på dess våglängd $ \ lambda $ – det är emellertid matematiskt bättre att använda den inversa våglängden, eller vågnummer $ k = 2 \ pi / \ lambda $ när du skriver ekvationer eftersom fashastigheten är
$ v _ {\ rm phase} \ \ = \ omega / k $
och grupphastigheten är
$ v _ {\ rm group} \ \ = d \ omega / dk $.
Dessa gäller för alla typer av vågor. Beträffande elektromagnetiska vågor i vakuum:
$ \ omega (k) = ck $
så att
$ v _ {\ rm phase} \ \ = v_ { \ rm-grupp} \ \ = c $.
Vågorna är spridda. I ett medium, till och med ett homogent medium, såsom glas, ökar brytningsindexet med frekvens (i det synliga, naturligtvis) så att ljuset sprids genom färg.
Lämna ett svar