Hur får man reda på om en transformation är en kanonisk transformation?

Det finns tre enkla tester för att kontrollera om en transformation är kanonisk. Observera att vissa multiplikativa konstanter kan dyka upp i vissa läroböcker, beroende på den exakta definitionen av kanonisk transformation.

Notation

Låt $ x = (p, q) $ vara $ 2n $ -variablerna och de transformerade variablerna $ $ tilde {x} (x) = (\ tilde {p} (p, q), \ tilde {q} (p, q)) $.

Metoden för den symplektiska jacobian

Låt $ J = \ partial \ tilde {x} / \ partial x $ vara den Jacobianska matrisen för transformationen. Låt dessutom $ \ mathbb {E} $ vara $ 2n \ gånger 2n $ blockmatris $$ \ mathbb {E} = \ begin { pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \ end {pmatrix} $$

Sedan transformation är kanonisk om och bara om

$$ J \ mathbb {E} J ^ T = \ mathbb {E} $$

Metoden för Poisson-parenteser

Transformationen är kanonisk om och bara om de grundläggande Poisson-parenteserna bevaras

$$ \ {\ tilde {p} _i, \ tilde {p} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {q} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {p} _j \} = \ delta_ {ij} $$

metod för Liouville differentiell form

Detta är något mindre praktiskt, men jag inkluderar det för fullständighet. Transformationen är kanonisk om och endast om differentieringsformen $ \ sum_i p_i \ mathrm {d} q_i – \ sum_i \ tilde {p} _i \ mathrm {d} \ tilde {q} _i $ är stängd.

Kommentarer

• Kan du ge en referens för metoden för den symplektiska jacobianen (helst en bok)? 🙂

Tips: Poisson-parenteser är kanoniska invarianter, detta är

$$ \ {F, G \} _ {q, p} = \ {F, G \} _ {Q, P} $$

Kommentarer

• så det räcker att visa att $ \ {Q, P \} _ {q, p} = 1 $?
• Ja; detta är den mer robusta definitionen av en CT. Eftersom PB: er är derivatliknande, dvs. följer kedjeregeln, behöver du bara beräkna två termer, enkelt för att verifiera relationen du frågar om.

Ett annat sätt (en praktisk genväg) är att försöka hitta en genereringsfunktion. I det här fallet ska vi använda $ F_3 (Q, p) $ eftersom $ Q $ och $ p $ verkar vara mer grundläggande variabler. De ursprungliga ekvationerna motsvarar \ begin {align} P & = q \, \ cot p \ tag {1} \\ q & = e ^ {- Q} \, \ sin s. \ tag {2} \ end {align} Ekv. (1) motsvarar \ begin {align} P = e ^ {- Q} \, \ cos p. \ tag {3} \ end {align}

Nu från ekv. (2) och (3) kan vi enkelt verifiera att $ F_3 (Q, p) = e ^ {- Q} \ cos p $ uppfyller \ begin {align} P = – \ frac {\ partial F_3} {\ partial Q}, \ tag {4} \\ q = – \ frac {\ partial F_3} {\ partial p}. \ tag {5} \ end {align} Detta betyder för den givna omvandlingen genereras av denna $ F_3 (Q, p) $ och är därför kanonisk.

Observera att den möjliga funktionella formen av $ F_3 (Q, p) $ kan härledas från ett försök och fel-tillvägagångssätt. I det här fallet integrerade vi faktiskt Eq. (4), $$ F_3 = – \ int P \, dQ = – \ int e ^ {- Q} \ cos p \, dQ = e ^ {- Q} \ cos p, $$ och verifierade sedan att den var nöjd Eq . (5).

Svaret från Enucatl är tillräckligt tillfredsställande. I exemplet $$ $$ P = q \ cot (p), $$ $$ Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right), $$ ges i frågan, det verkar som om det finns dimensionell felanpassning.

Argumentet inuti $ \ cot $ måste vara ungefär $ [p / (p_o)] $ där $ p_o $ har dimensioner av momentum och logaritmens argument måste vara $ $ q_o \ frac {\ sin (p / p ”_o)} {q}, $$ $ p” _o $ behöver inte vara lika med $ p_o $. Även om P och Q inte har dimensioner av momentum respektive längd kanske det inte spelar någon roll (välkänt enligt något allmänt fall av en kanonisk transformation).

Jag är nyfiken på att veta om operationerna för dimensionell matchning underförstått (som det moderna (som jag inte gillar) sättet att vissa böcker tar $ c = 1 $ och kallar den relativistiska energin för en fri partikel $ E = (m ^ 2 + p ^ 2) ^ {1/2} $ istället för $ E = (m ^ 2 c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2) ^ {1/2} $ etc.).